Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

В данной теме речь пойдёт о законе всемирного тяготения и силе тяжести. Также будет рассмотрено движение планет и искусственных спутников.

В курсе физики 7 класса говорилось о явлении всемирного тяготения, которое заключается в том, что между всеми телами во Вселенной действуют силы притяжения.

Каждый человек ощущает силу притяжения к Земле, благодаря которой люди могут ходить, бегать и прыгать. И именно эта сила действует на людей, когда они падают, споткнувшись или поскользнувшись.

Так почему Земля притягивает к себе все тела? А какие причины вызывают движение Луны вокруг Земли практически по круговой орбите? И почему планеты Солнечной системы, в том числе и наша Земля, движутся вокруг Солнца?

Первым ученым, который сначала высказал гипотезу, способную ответить на эти и многие другие «ПОЧЕМУ?», а потом строго ее доказал, был сэр Исаак Ньютон. Конечно же многие ученые и до Ньютона, пытались ответить на этот извечный вопрос. Среди них и Николай Коперник, предложивший гелиоцентрическую систему мира, и Иоганн Кеплер, сформулировавший первые количественные законы, открывшими путь к идее всемирного тяготения. И результаты опытов Галилео Галилея, достигнутые им при изучении законов падения тел, и предположение Эдмунда Галлея, который показал, что из третьего закона Кеплера должно следовать, что сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Все, казалось, предугадано, однако сформулировать закон никто не мог, поставленная задача оставалась не решенной.

И только невиданная способность выделять в сложности явлений физическую основу и математический гений Ньютона позволили ему решить задачу до конца. Он предположил, что между любыми телами существуют силы тяготения и, например, падение пушечного ядра на Землю и движение Луны по своей орбите определяется силой притяжения Земли. Чтобы установить закон, которому подчиняются силы тяготения, Ньютон сравнил траектории и ускорения этих тел. Так ядро, вылетевшее с некоторой скоростью из пушки, движется к Земле по криволинейной траектории. Если увеличить скорость вылета ядра, то дальность полета, естественно, увеличиться.

Из-за кривизны поверхности Земли при определенной начальной скорости ядро вообще может не достигнуть Земли и начнет двигаться вокруг нее подобно Луне.

Из этого мысленного эксперимента Ньютон сделал важный вывод, что движение ядра и движение Луны обусловлены одной и той же причиной — притяжением Земли.

В тоже время, по известным астрономическим данным (расстоянию до Луны и периоду ее обращения вокруг Земли), можно было определить центростремительное ускорение Луны. Вычисленное таким образом ускорение оказалось равным

Это примерно в 3600 раз меньше, чем ускорение свободного падения камня, движущегося у поверхности Земли.

Так как Луна приблизительно в 60 раз дальше от центра Земли, чем ядро, то Ньютон предположил, что ускорение, которое сообщает телам сила тяготения Земли, обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли.

Поскольку ускорение прямо пропорционально действующей на тело силе, то сила тяготения Земли также по величине обратно пропорциональна квадрату расстояния до ее центра.

Опыты Галилея доказали, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. А это возможно только в том случае, если сила тяготения пропорциональна массе.

С другой стороны, известно, что во взаимодействии всегда участвуют два тела, на каждое из которых по третьему закону Ньютона действуют одинаковые по модулю силы. Следовательно, сила тяготения должна быть пропорциональна массе обоих тел. Так Ньютон пришел к выводу о том, что сила тяготения между телом и Землей пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.

В настоящее время принята следующая формулировка закона всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, модули которых прямо пропорциональны произведению масс этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Она отсутствовала в явном виде у Ньютона и в работах других ученых вплоть до начала 19 века. И впервые была введена только после перехода к единой метрической системе мер. А определена она была впервые английским физиком Генри Кавендишем с помощью прибора, называемого крутильными весами.

В настоящее время, а точнее с 2014 года, комитетом данных для науки и техники рекомендовано следующее значение гравитационной постоянной:

При решении задач будем пользоваться округленным до десятых значением данной константы.

Следует отметить, что силы всемирного тяготения — это самые универсальные из сил природы, так как действуют между любыми телами.

Исторически сложилось, что силой тяжести называется сила, с которой Земля притягивает к себе тело.

В записанной формуле масса данного тела — величина постоянная, и, следовательно, силу тяжести определяет ускорение свободного падения.

Согласно закону всемирного тяготения, ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли зависит только от массы планеты и от ее радиуса, и поэтому его модуль одинаков для всех тел.

Если высотой тела над поверхностью Земли пренебречь нельзя, то модуль ускорения свободного падения будет тем меньше, чем дальше тело от поверхности.

Поэтому часто для ускорения свободного падения вблизи поверхности вводят индекс «0», а для ускорения свободного падения на некоторой высоте от поверхности — индекс «h».

Рассмотрим, какие еще факторы влияют на модуль ускорения свободного падения, например, вблизи данной точки земной поверхности? Во-первых, это то, что планета не является шаром. Форма Земли в честь ее греческого имени Гея носит название «геоид», так как радиус кривизны ее поверхности у полюсов больше, чем на экваторе.

Во-вторых, планета не однородна по строению. Она состоит из различных слоев, в которых есть области различной плотности, например, залежи нефти, газа или тяжелых металлов.

В-третьих, не учитывается суточное вращение Земли.

В-четвертых, при расчетах ускорения свободного падения, не учитывается гравитационное взаимодействие Земли с другими космическими телами: Луной, Солнцем и другими планетами.

Именно поэтому модуль ускорения свободного падения отличается для различных точек на поверхности нашей планеты. Стандартное значение ускорения свободного падения было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5º на уровне моря.

При решении большинства задач, если в условии ничего не сказано о форме планеты, ее строении и параметрах вращательного движения, используют простейшую модель гравитационного взаимодействия и полученные формулы, считая планету идеальным шаром.

Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения, опираясь на астрономические данные о движении планет Солнечной системы. И, как отмечалось ранее, в Солнечной системе гравитационные взаимодействия существуют между всеми телами, входящими в нее: Солнцем, планетами, их спутниками, кометами и астероидами. В физических задачах, как правило, рассматривается упрощенная модель движения космических тел и учитывается лишь самая большая из гравитационных сил, действующих на тело. Например, обычно считается, что Земля движется по своей орбите только под действием притяжения Солнца. А Луна движется вокруг Земли только под действием земного притяжения.

В Солнечной системе вокруг многих планет вращаются космические тела, которые называют спутниками. Спутник — это небесное тело, обращающееся по определённой траектории вокруг другого объекта (например, планеты) в космическом пространстве под действием гравитации.

Различают искусственные и естественные спутники. Искусственный спутник — это любой объект, созданный руками человека и движущийся вокруг данного небесного тела. Для вывода спутника на орбиту необходима работа мощных двигателей, но при движении спутника по постоянной орбите двигатели на спутнике выключены. Почему же спутник движется по орбите? Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим упрощенную модель движения искусственного спутника.

Будем считать, что он движется с постоянной по модулю скоростью по круговой орбите вокруг данной планеты в безвоздушном пространстве и только под действием ее сил тяготения. Силами тяготения со стороны других космических тел можно пренебречь. Если нет сопротивления воздуха, а сила тяготения в любой момент перпендикулярна скорости движения, то создаваемое ею ускорение также перпендикулярно скорости и не может изменять ее модуль. Вот почему такой идеальный спутник должен бесконечно долго вращаться по своей орбите с выключенными двигателями. Реальные искусственные спутники Земли постепенно приближаются к ее поверхности, и в конце концов попадая в атмосферу, сгорают в ней.

Какова должна быть скорость спутника, чтобы он двигался по круговой орбите? Определим эту скорость, считая, что спутник движется на высоте h над поверхностью однородной шарообразной планеты массы M и радиуса R. Так как движение происходит по окружности, то спутник имеет центростремительное ускорение, которое ему сообщает сила тяготения

Также центростремительное ускорение спутника можно определить на основании второго закона Ньютона

Сравнивая две формулы для определения центростремительного ускорения спутника, можно легко определить его скорость движения по орбите на высоте h над поверхностью.

Преобразуем записанную формулу, с учетом уравнения, для определения модуля ускорения свободного падения вблизи поверхности планеты

Первой космической скоростью для планеты называется скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по круговой орбите вблизи поверхности планеты.

Тогда величина первой космической скорости определяется по формуле:

Так, например, при движении спутников на высоте 200–300 км от поверхности Земли первая космическая скорость равна 7,9 км/с.

Из приведенных формул следует, что, чем выше над поверхностью планеты расположена орбита спутника, тем меньше его скорость и тем больше его период обращения.

Основные выводы:

– Сформулирован закон всемирного тяготения, установленный Ньютоном в 1667 году.

– Рассмотрены сила тяжести и ускорение свободного падения. А также поговорили о движении планет и искусственных спутников.