Видеоучебник / Информатика / Подготовка к ОГЭ по информатике / Логические значения, операции, выражения

Логические значения, операции, выражения

Урок 12. Подготовка к ОГЭ по информатике

Логика – это наука, которая изучает методы и законы правильного мышления. На этом уроке мы вспомним, что такое алгебра логики, виды высказываний, основные логические операции, действия, которые следует выполнить для построения таблицы истинности. Мы также обсудим основные свойства логических операций.

Плеер: YouTube Вконтакте

Конспект урока "Логические значения, операции, выражения"

Сегодня на уроке мы вспомним:

· что такое алгебра логики;

· виды высказываний;

· основные логические операции;

· действия, которые следует выполнить для построения таблицы истинности;

· основные свойства логических операций.

Логика – это наука, которая изучает методы и законы правильного мышления. Логику часто называют формальной, так как она интересуется не содержанием мышления, а его формой.

Форма мышление – это способ выражения мыслей или форма, по которой они строятся.

Понятие – это форма, которая обозначает какой-либо объект или отличающий его признак. Например, принтер, комета, широта.

Утверждением, высказыванием, или суждением называется форма, которая утверждает или отрицает что-либо о свойствах и отношениях между ними.

Утверждения могут быть истинными и ложными.

Умозаключением называется форма, в которой из двух и более высказываний получают новое утверждение.

Законы мышления – это правила которые должны выполняться, чтобы на основании истинных суждений получить истинные выводы. Логика как раз и изучает эти законы и способы получения новых утверждений на основании уже имеющихся.

Для установления истинности или ложности высказываний в математической логике используются математические методы. Математическая логика пользуется специальным символьным языком, подобным языку математики, поэтому её часто называют символьной логикой.

Раздел математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях, называется алгеброй логики. Она изучает логические высказывания и методы установления их истинности или ложности с помощью алгебраических методов.

Любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно, называется логическим высказыванием. Вопросительные и повелительные предложения не являются логическими высказываниями. Как мы помним, не каждое повествовательное предложение может быть логическим высказыванием.

Возможность принимать одно из двух значений — истина и ложь – является отличительной особенностью логических высказываний.

Истинность или ложность высказывания определяется вне алгебры логики – с помощью наблюдений, научных исследований, практических опытов и так далее.

В алгебре логики высказывания бывают простыми и сложными.

Простое высказывание – это высказывание, в котором никакая его часть сама не является высказыванием. То есть в высказывании нельзя выделить некую часть, которая не совпадает по смыслу с исходным высказыванием. Простые высказывания обычно обозначаются латинскими буквами A, B, C и так далее.

Сложные, или же составные, высказывания – это высказывания, которые представляют собой объединение простых высказываний с помощью логических связок.

Логическая связка – это союзы или выражения, которые употребляются в естественном языке для соединения простых высказываний в сложные. В качестве логических связок могут использоваться слова «не», «и», «или», «тогда и только тогда», «если … то».

Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний.

В классической двузначной алгебре логики логических значений всего два: истина (True) и ложь (False). Им соответствует цифровое представление – 1 и 0. Также эти значения записывают как «да» и «нет».

Как мы помним, запись истинности некоторого высказывания А выглядит как А = 1, а ложности – А = 0.

Логические операции

В алгебре логики логические связки рассматриваются как логические операции, которые имеют свои названия и обозначения.

Результаты применения каждой операции к логическим высказываниям (истинным или ложным) описывают в виде таблицы, в которой указывают все возможные сочетания значений исходных логических высказываний и истинность или ложность результата. Такие таблицы называются таблицами истинности операции. Чаще всего в них используют обозначения логических значений 0 и 1 или ложь и истина, и другие.

Основными логическими операциями являются: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающая дизъюнкция, следование, и эквивалентность.

Поговорим о каждой логической операции более подробно.

Логическое отрицание (или инверсия) – это логическая операция, в результате которой из данного высказывания получается новое высказывание – отрицание исходного. Обозначается символически чертой сверху (Ā) или следующими условными обозначениями ¬А, not А, не А (которые могут быть прочитаны как «отрицание А», «не А», «А ложно», «неверно, что А»).

Высказывание ¬А ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно.

Вспомним таблицу истинности операции отрицания.

Отрицание – это унарная операция.

Напомним, что унарная (или одноместная) операция – это операция, применяющаяся к одному операнду.

Другие логические операции являются двуместными (или бинарными). Бинарная (или двуместная) операция – это операция, которая выполняется над двумя операндами.

Логическое умножение (или конъюнкция) – это логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи логического умножения используются следующие обозначения: И, ∧, •, &, and.

Иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ.

Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Высказывание А ∧ В ложно только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний А или В.

Вспомним таблицу истинности операции конъюнкции.

Логическое сложение (дизъюнкция) – это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться ложным тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания.

Для записи логического сложения используются следующие обозначения: ИЛИ, v, |, +, or.

Например: А + В, А или В, А or В, А | B, А v В.

Высказывание А v В истинно только тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Высказывание А v В ложно только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Вспомним таблицу истинности операции дизъюнкции.

Исключающее сложение (или исключающая дизъюнкция, строгая дизъюнкция, сложение по модулю два, дизъюнкция строго–разделительная) – логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно их двух высказываний истинно.

Операция символически обозначается с помощью знака ⊕ и читается «либо А, либо В».

Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.

Исключающая дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности.

Логическое следование (импликация) – логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) – ложно.

Операция символически обозначается с помощью этого знака → и читается «Если А, то В», «А влечёт В», «из А следует В», «А имплицирует В».

Для обозначения импликации применяются также следующие знаки ⊃ или ⇒.

Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать всё что угодно, а из истины – только истина. Получается, что импликация А → В ложна только тогда, когда А истинно, а В ложно (из истинного высказывания следует ложное). Во всех остальных случаях импликация истинна.

Импликация определяется следующей таблицей истинности.

Логическое равенство (или эквивалентность, следование, двойная импликация, равнозначность) – логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным, когда оба исходных высказывания истинны или оба исходных высказывания ложны.

Данное высказывание А ≡ В читается «А эквивалентно B». Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно». Для обозначения эквивалентности применяются следующие знаки ~, ⇔, ≡.

Если оба высказывания имеют различные логические значения, результатом операции эквивалентности всегда будет ложь. Если же оба простые высказывания ложны или оба истинны, то составное логическое высказывание всегда будет истинно.

Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности.

Удобно пользоваться сводной таблицей истинности для всех основных логических операций, которая имеет следующий вид:

Также давайте ещё раз вспомним логические операции, их обозначение и логические связки, которыми они могут быть выражены.

Логические выражения

Логические высказывания могут быть записаны в виде логических выражений. Они включают логические переменные, знаки логических операций, логические константы (истина и ложь) и скобки. Логические выражения принимают значения истина или ложь.

Вспомним правила построения логических выражений.

· любая логическая переменная или константа (истина и ложь) являются логическим выражением;

· если А – логическое выражение, то ¬А – тоже логическое выражение;

· если А и В – логические выражения, то связанные любой бинарной операцией, они также представляют собой логическое выражение А ∧ В; А v В ; А ⊕ В; А → В; А ~ В.

При преобразовании или вычислении значения логического выражения логические операции выполняются в соответствии с их приоритетом:

· сначала операции отрицания,

· затем операции логического умножения,

· потом операции логического сложения и исключающего сложения,

· последними выполняются операции импликации и эквивалентности.

Операции выполняются слева направо.

Порядок выполнения может быть изменён с помощью скобок.

Давайте вспомним, какие действия следует выполнить для построения таблицы истинности:

Сначала подсчитаем n – число переменных в выражении.

Не забываем, что переменные обозначаются с помощью букв латинского алфавита.

Затем считаем общее число логических операций в выражении.

После устанавливаем последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов (сначала выполняются операции в скобках, затем инверсия, конъюнкция и дизъюнкция).

Далее определяем число столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

Затем заполняем шапку таблицы: сначала пишем в шапке таблицы все наши переменные, а потом операции в порядке их следования, установленного в пункте 3.

Далее определяем число строк в таблице (при этом шапку таблицы не считаем): m = 2ⁿ.

Где m – это количество строк, а n – число переменных в выражении.

После выписываем наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой ряд целых n-разрядных двоичных чисел от нуля 0 до 2ⁿ – 1.

И в конце проводим заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Давайте также вспомним основные свойства логических операций, которые называют законами алгебры логики.

Переместительный (коммутативный) закон: при перестановке местами переменных в конъюнкции и дизъюнкции значение выражения не изменяется.

Сочетательный (ассоциативный) закон: если в выражении все операции одинаковы, например, две конъюнкции, то скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

Распределительный (дистрибутивный) закон.

Закон двойного отрицания: двойное отрицание исключает отрицание.

Закон исключённого третьего.

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе – ложно, третьего не дано.

Закон повторения: при конъюнкции или дизъюнкции одного и того же высказывания, получится это же высказывание.

Законы операций с 0 и 1.

Закон общей инверсии. Для того чтобы найти инверсию конъюнкции, нужно найти дизъюнкцию инверсий каждого логического выражения. Для того чтобы найти инверсию дизъюнкции, нужно найти конъюнкцию инверсий каждого логического выражения.