Меню
Конспекты
Конспекты  /  Математика  /  6 класс  /  Математика 6 класс ФГОС  /  Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель

Урок 5. Математика 6 класс ФГОС

В этом видеоуроке мы закрепим представления о делителях, о простых и составных числах. Сформируем представления о различных способах нахождения НОДа.

Конспект урока "Наибольший общий делитель"

Представим себе такую историю…

– Саша, чего ты такой задумчивый? – спросил у друга Паша.

– Мы классом ко дню учителя купили цветы – начал Саша. – И мне дали задание собрать из них букеты. Да ещё и так, чтобы в каждом букете цветов было поровну.

– Ну так в чём проблема? – удивился Паша. – Сколько букетов тебе нужно сделать?

– Вот в этом и проблема – загрустил Саша. – Я не помню сколько букетов нужно собрать.

– Ну давай разбираться вместе – предложил Паша. – Сколько цветов вы купили?

– Мы купили 36 гербер, 48 нарциссов и 72 ириса – ответил Саша. – Но как это может помочь?  

– Чтобы поровну разделить все цветы по букетам, нужно чтобы число букетов было делителем числа гербер, числа нарциссов и числа ирисов – сказал Паша.

– И как же найти этот делитель? – недоумевал Саша.

– Смотри, число 36 имеет девять делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36 – начал Паша. – Число 48 имеет десять делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48. В свою очередь, число 72 имеет двенадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 и 72.

– Паша, у этих чисел очень много одинаковых делителей! – заметил Саша.

– Верно! – согласился Паша. – Вот именно они-то нам и нужны. Общими делителями этих трёх чисел являются: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Среди общих делителей число 12 является наибольшим. Это значит, что из всех цветов, что вы купили ко дню учителя, можно собрать 12 одинаковых букетов, причём в каждом букете будет по 3 герберы, 4 нарцисса и 6 ирисов.

– Точно! Мне сказали сделать 12 букетов – вспомнил Саша. – А что это за хитрый способ такой, которым мы сейчас с тобой находили количество букетов?

– Ничего тут хитрого нет – улыбнулся Паша. Мы с тобой сейчас находили наибольший общий делитель трёх чисел. Но более точно о наибольшем общем делителе нам сможет рассказать Мудряш.

– Ребята, прежде чем я вас познакомлю с наибольшим общим делителем, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. В случае с количеством букетов ко дню учителя вы всё верно посчитали. Чтобы из 36 гербер, 48 нарциссов и 72 ирисов собрать одинаковые букеты, состоящие из равного количества цветов, нужно найти наибольшее число, на которое бы делилось каждое из чисел 36, 48 и 72. Таким числом оказалось 12.

– Давайте рассмотрим такой пример – предложил Мудряш. – Найдём общие делители чисел 72 и 96. Для начала выпишем делители каждого из них в порядке возрастания. Так нам будет легче высмотреть, какие числа встретятся дважды.

– Делители числа 72 – начал Саша – 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 и 72.

– Делители числа 96 – продолжил Паша – 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 и 96.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. Числа, которые встречаются дважды – это есть общие делители наших чисел. Давайте выпишем их отдельно.

– Общими делителями чисел 72 и 96 являются – сказали мальчишки, – 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.

– Хорошо! А какое число будет наибольшим из делителей? – спросил Мудряш.

– Число 24 – ответили ребята.

– Верно! Число 24 называют наибольшим общим делителем чисел 72 и 96 – сказал Мудряш. Вообще, наибольший общий делитель двух натуральных чисел – это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся.

Запомните! – сказал Мудряш. – Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b принято обозначать так: . Тогда наибольший общий делитель чисел 72 и 96 равный 24 записывают так: .

– Если нужно найти наибольший общий делитель нескольких чисел, то каждый раз надо выписывать все делители этих чисел? – решили уточнить мальчишки. – А если будут большие числа?

– Наибольший общий делитель многозначных чисел удобно находить, предварительно разложив их на простые множители – ответил Мудряш. Давайте найдём наибольший общий делитель чисел 540 и 2520. Для этого разложим числа 540 и 2520 на простые множители.

– Число 540 чётное – начал Саша, – значит, оно делится на 2. Получим 270. Число 270 тоже чётное. Разделим его на 2. Получим 135. Сумма цифр числа 135 равна 9. 9 делится на 3, значит, и число 135 делится на 3. Разделим. Получим 45. Число 45 делится на 3. Получим 15. 15 тоже делится на 3. Получим 5. 5 делится на 5. Получим 1. Тогда разложение на простые множители числа 540 выглядит так: , или если записывать степенями, то .

– Число 2520 чётное – продолжил Паша. Значит, оно делится на 2. Разделим. Получим 1260. Это число тоже чётное. Разделим его на 2. Получим 630. И снова у нас чётное число. Разделим его на 2. Получим 315. Сумма цифр числа 315 равна 9. 9 делится на 3, значит, и число 315 тоже делится на 3. Разделим. Получим 105. Число 105 тоже делится на 3. Разделим. Получим 35. Число 35 делится на 5. Разделим. Получим 7. Число 7 делится на 7. В итоге получим 1. Тогда разложение на простые множители числа 2520 можно записать так: , или если записывать степенями, то .

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. Наибольший общий делитель должен быть кратен любому общему делителю. Значит, разложение наибольшего общего делителя должно содержать все простые множители, которые одновременно входят в разложения обоих данных чисел. Это числа 2, 3 и 5. Как видим, в разложениях данных чисел некоторые простые множители повторяются. Число 2 в разложении числа 540 встречается дважды, а в разложении числа 2520 – трижды. Значит, число 540 делится на , но не делится на . А вот число 2520 делится и на , и на . Тогда в наибольший общий делитель число 2 должно войти с показателем степени, меньшим из встретившихся в разложениях данных чисел, то есть со второй степенью.

– Также видно, что число 3 – общий делитель данных чисел. В первом разложении оно встречается трижды, во втором – дважды. Значит, число 3 должно войти в наибольший общий делитель с показателем степени, равным 2.

– Ещё рассматриваемые числа имеют общий делитель – число 5. В оба разложения это число входит в первой степени. Значит, оно войдёт и в наибольший общий делитель.

– Таким образом, .

– А теперь давайте сформулируем правило, по которому мы сейчас с вами находили наибольший общий делитель – сказал Мудряш.

Итак, чтобы найти наибольший общий делитель, нужно:

1) разложить данные числа на простые множители;

2) выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений;

3) каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел;

4) перемножить выбранные степени. Полученное произведение и будет являться искомым наибольшим общим делителем.

– А теперь давайте, руководствуясь этим правилом, найдём наибольший общий делитель чисел 84 и 275.

– Разложение на простые множители числа 84 имеет следующий вид: – начал Саша, – .

– В свою очередь разложение на простые множители числа 275 имеет такой вид: – продолжил Паша, – .

– Что вы можете сказать о наибольшем общем делителе этих чисел? – спросил Мудряш.

– Числа 84 и 275 не имеют общих простых делителей – ответили мальчишки. .

Запомните! – сказал Мудряш. – Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен единице, то их называют взаимно простыми.

Числа 84 и 275 взаимно простые. Обратите внимание, что любые два простых числа являются взаимно простыми. Так, например, , .

– Давайте рассмотрим ещё один пример – предложил Мудряш. Найдём наибольший общий делитель чисел 300 и 4500.

– Число 4500 полностью делится на 300 – заметил Паша. – Как находят наибольший общий делитель в таких случаях?

– Верно замечено! – сказал Мудряш. – В таких случаях, нет необходимости раскладывать числа на простые множители. Число 300 является делителем числа 4500. Поэтому .

0
573

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт