Измерение информации. Содержательный подход

Вопросы занятия:

·        содержательный подход к измерению информации;

·        неопределённость знания об исходе некоторого события;

·        единица измерения количества информации в рамках содержательного подхода.

Количество информации в одном том же сообщении, с точки зрения разных людей, может быть разным. Например, для человека, который не владеет английским языком, статья, напечатанная на английском языке, не несёт никакой информации. Информативным для человека является то сообщение, которое содержит новые и понятные сведения.

Давайте попробуем определить количество информации с позиции «информативно» или «неинформативно» для ученика 10 класса.

Столица России – Москва (это сообщение неинформативно, так как всем известно).

Высота Останкинской телебашни составляет 540 метров (или 45 этажей). Это делает её 6 по высоте конструкцией в мире (это сообщение информативно).

Корреляция, корреляционная зависимость — это зависимость между величинами, каждая из которых подвергается неконтролируемому разбросу (неинформативно, так как непонятно).

Необходимо отличать понятия информация и информативность.

Например, содержит ли учебник по информатике для десятого класса информацию? Конечно содержит, но для кого он будет информативным – для ученика десятого класса или первого класса? Естественно для ученика десятого класса. Первоклассник ничего из этого учебника не поймёт.

Теперь мы можем сделать вывод: количество информации зависит от информативности.

Информативность можно обозначить единицей, неинформативная информация равна нулю. Но это не даёт точного определения количества информации.

Алфавитный подход применяется для измерения информации, используемой компьютером. Так как компьютер не понимает смысла информации.

Содержательный подход применяется для измерения информации, используемой человеком.

В содержательном подходе, количество информации, заключённое в сообщении, определяется объёмом знаний, который это сообщение несёт получающему его человеку.

Вспомним, что с «человеческой» точки зрения информация - это знания, которые мы получаем из внешнего мира.

Тогда сущность содержательного подхода заключается в следующем: количество информации, заключённое в сообщении, должно быть тем больше, чем больше оно пополняет наши знания.

То есть, чем больше первоначальная неопределённость знания, тем больше информации несёт сообщение, снимающее эту неопределённость.

Рассмотрим примеры.

Допустим, вы бросаете монету, загадывая, что выпадет: орёл или решка. Есть всего два возможных результата бросания монеты.

Причём ни один из этих результатов не имеет преимущества перед другим. В таком случае говорят, что они равновероятны.

В данном случае с монетой, перед её подбрасыванием неопределённость знания о результате равна 2.

Если же бросать игральный кубик с шестью гранями, то он может с равной вероятностью упасть на любую из них. Значит, неопределённость знания о результате бросания кубика равна 6.

Или такая ситуация: спортсмены-бегуны перед забегом путём жеребьёвки определяют свои порядковые номера на старте. Допустим, что в забеге участвует 100 спортсменов, тогда неопределённость знания спортсмена о своём номере до жеребьёвки равна 100.

Неопределённость знания о результате некоторого события - это количество возможных результатов исхода события.

Вернёмся к спортсменам-бегунам.

Здесь событие – это жеребьёвка спортсменов; исход – спортсмену выпал, например, номер 34.

Итак, в первом примере возможны два варианта ответа: орёл, решка; во втором примере шесть вариантов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

В третьем примере – 100 вариантов, может выпасть номер от 1 до 100.

Теперь, согласно определению, можно сделать вывод, что наибольшее количество информации несёт третье сообщение, так как неопределённость знания об исходе события в этом случае была наибольшей.

В 40-х годах 20 века Клод Шеннон — американский учёный и инженер, один из создателей математической теории информации, решил проблему измерения информации.

Шеннон дал такое определение информации: Информация – это снятая неопределённость знания человека об исходе какого-то события.

Вернёмся к примеру, с монетой. После того как вы бросили монету и посмотрели на неё, вы получили зрительное сообщение, что выпал, например, орёл. Определился один из двух возможных результатов. Неопределённость знания уменьшилась в два раза: было два варианта, остался один. Значит, узнав результат бросания монеты, вы получили 1 бит информации.

Сообщение об одном из двух равновероятных результатов некоторого события несёт 1 бит информации.

А также сообщение, уменьшающее неопределённость знания об исходе некоторого события в два раза, несёт 1 бит информации.

Рассмотрим примеры:

«Вы выходите на следующей остановке?» - спросил мальчик женщину в автобусе. «Нет» - ответила она. Сколько информации содержит ответ?  -  Согласно определению, ответ содержит один бит информации.

Или такой пример. Вы подошли к светофору на пешеходном переходе, когда горел красный свет. Загорелся зелёный. Здесь вы также получили один бит информации.

Итак, мы выяснили, когда сообщение несёт 1 бит информации.

Значит в примерах с кубиком и спортсменами количество информации будет больше. Давайте выясним как измерить это количество.

Рассмотрим пример. Занятия могут состояться в одном из кабинетов, номера которых от одного до шестнадцати. Ученики спросили у учителя: «в каком кабинете будут проходить занятия?» На что учитель им ответил: «Угадайте ответ за четыре вопроса, на которые я могу дать ответ «Да» или «Нет»».

Подумав староста класса задала следующие вопросы:

1 вопрос. Номер кабинета меньше 9? – Да. Ответил учитель

2 вопрос. Номер кабинета больше 4? – Да.

3 вопрос. Номер кабинета чётный? – Нет.

4 вопрос. Номер кабинета 5? – Нет.

Ученики поняли, что занятия состоятся в кабинете номер 7.

Итак, сколько же информации получили ученики?

Первоначально неопределённость знания (количество возможных кабинетов) была равна 16. С ответом на каждый вопрос неопределённость знания уменьшалась в два раза и, следовательно, согласно данному выше определению, передавался 1 бит информации.

Первоначально было 16 вариантов. После первого вопроса осталось 8 вариантов, и ученики получили 1 бит информации.

После 2 вопроса осталось 4 варианта, и ученики получили ещё 1 бит информации.

После 3 вопроса осталось 2 варианта и был получен ещё 1 бит информации.

И, наконец после 4 вопроса, остался 1 вариант и получен ещё 1 бит информации.

То есть мы можем сделать вывод, что ученики получили четыре бит информации.

Такой способ нахождения количества информации, называется методом половинного деления: здесь ответ на каждый заданный вопрос уменьшает неопределённость знания, которая имеется до ответа на этот вопрос, наполовину. Каждый такой ответ несёт 1 бит информации.

Нужно отметить, что методом половинного деления наиболее удобно решать подобные проблемы. Таким способом всегда можно угадать, например, любой из 32 вариантов максимум за 5 вопросов.

Если бы поиск совершался последовательным перебором: «Мы будем заниматься в первом кабинете?»  «Нет», «Во втором кабинете?»  «Нет» и т. д., то про седьмой кабинет можно было бы узнать после семи вопросов, а про восьмой — после восьми.

Теперь мы можем полученные результаты описать с помощью следующих определений:

•        сообщение об одном из двух равновероятных исходов некоторого события несёт 1 бит информации;

•        сообщение об одном из четырёх равновероятных исходов некоторого события несёт 2 бита информации;

•        сообщение об одном из восьми равновероятных исходов некоторого события несёт 3 бита информации.

Для того чтобы при измерении одной и той же информации получалось одно и то же значение количества информации, необходимо договориться об использовании определённого алфавита.

Пусть N – это количество возможных исходов события или неопределённость знания. Тогда i – это количество информации в сообщении об одном из N результатов.

Вернёмся к нашим примерам.

Обратите внимание, между данными величинами есть связь, которая выражается формулой.

Эта формула вам уже знакома. Также вы с ней встретитесь ещё не раз. Эта формула очень важна, поэтому её называют главной формулой информатики.

Для определения количества информации I, содержащейся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, нужно решить уравнение.

В математике такое уравнение называется показательным.

Рассмотрим пример. В коробке лежало 64 разноцветных катушки ниток. Сколько информации несёт сообщение о том, что из коробки достали жёлтую катушку?

Рассмотрим следующий пример.

В скором поезде Москва – Санкт-Петербург 8 вагонов, в каждом вагоне 32 места. Нужно определить какое количество информации несёт сообщение о том, что вам купили билет в 6 вагон, 13 место?

Этот пример показывает выполнение закона аддитивности количества информации (правило сложения): количество информации в сообщении одновременно о нескольких результатах независимых друг от друга событий равно сумме количеств информации о каждом событии отдельно.

Итак, мы уже говорили о том, что с формулой 2ⁱ = N мы уже встречались на прошлом уроке, когда говорили об алфавитном подходе к измерению информации. Тогда N рассматривалось как мощность алфавита, a i — как информационный вес каждого символа алфавита.

Если допустить, что все символы алфавита появляются в тексте с одинаковой частотой, то есть равновероятно, то информационный вес символа i идентичен количеству информации в сообщении о появлении любого символа в тексте. При этом N — неопределённость знания о том, какой именно символ алфавита должен стоять в данной позиции текста. Это замечание показывает связь между алфавитным и содержательным подходами к измерению информации.

Рассмотрим пример: Требуется угадать задуманное число из диапазона целых чисел, например, от 1 до 100. Чему равно количество информации в сообщении о том, что загаданное число 89?

То есть, если значение N равно целой степени двойки, то показательное уравнение легко решить, а если нет, как в нашем примере. Как поступить в этом случае?

Можно догадаться, что решением уравнения будет дробное число, которое находится между 6 и 7.

В математике существует функция, с помощью которой решаются показательные уравнения. Эта функция называется логарифмом.

Тогда решение показательного уравнения запишется i равно логарифм N по основанию 2. Это означает, что мы должны найти степень, в которую нужно возвести основание, в нашем случае 2, чтобы получить N.

Например, для целых степеней двойки получим:

И так далее.

Значения логарифмов находятся с помощью специальных логарифмических таблиц. Также можно использовать инженерный калькулятор или табличный процессор.

Определим количество информации, полученной из сообщения об угадывании задуманного числа из диапазона от одного до ста, с помощью электронной таблицы.

Количество информации в сообщении о том, что загаданное число 89 приблизительно равно 6,64 бит.

Формула для измерения количества информации была предложена американским учёным-электронщиком Ральфом Хартли, который является одним из основоположников теории информации.

Данный пример показал, что количество информации, определяемое с использованием содержательного подхода, может быть дробной величиной, если же находить информационный объем, путём применения алфавитного подхода, то там может быть только целочисленное значение.

Итоги урока.

В содержательном подходе количество информации, заключённое в сообщении, определяется объёмом знаний, который это сообщение несёт получающему его человеку.

Один бит - это минимальная единица измерения количества информации.

Сообщение, уменьшающее неопределённость знания в два раза, несёт один бит информации.

Для измерения количества информации применяется формула Хартли: