Расчёт массы и объёма тела по его плотности

Вы уже хорошо знаете из предыдущих уроков, что все тела по-разному ведут себя, когда мы пытаемся их разогнать или остановить. Это их свойство называется инертностью. Напомним, что под инертностью понимают свойство тела препятствовать изменению своей скорости при внешнем воздействии. Именно из-за инертности мяч не может мгновенно остановиться после удара. А автомобилю нужно время, чтобы набрать скорость.

Мерой этой самой инертности, мерой количества вещества в теле, и является масса. Мы обозначаем её латинской буквой m, а измеряем в системе СИ в килограммах (кг). Помните наш опыт с тележками? Из двух взаимодействующих тел масса больше у того тела, которое меньше изменяет свою скорость.

Но вот что интересно: посмотрите вокруг. Два предмета могут быть одного размера, но иметь совершенно разную массу. Например, кубик из дерева и такой же кубик из железа. Почему же железный кубик так тяжел? Всё дело в том, как «упаковано» вещество внутри. В железном кубике в том же объёме содержится гораздо больше вещества, чем в деревянном.

А может быть наоборот. Например, большой кусок пенопласта гораздо легче, чем маленькая стальная гайка. То есть, даже в маленькой стальной гайке находится больше вещества, чем в большом куске пенопласта.

Эта «плотность упаковки» и называется плотностью. Плотность показывает, какая масса вещества приходится на единицу его объёма. Если взять один кубический метр (это довольно большой объём, представьте себе куб со стороной в один метр), то масса этого куба и будет численно равна плотности. Обозначается плотность греческой буквой ρ. И связывает она массу и объём одной из главных формул в нашей сегодняшней теме: плотность равна массе, делённой на объём

Формула эта — не просто набор символов. Она — ключ к решению множества практических задач. Давайте подумаем, где она применяется? Инженеры, проектируя мост, должны точно рассчитать массу всех его элементов, чтобы он был прочным и безопасным. Для этого они умножают плотность материала (например, стали) на объём каждой балки. Создатели самолётов и космических кораблей, наоборот, ищут материалы с малой плотностью, но высокой прочностью, чтобы аппарат был лёгким, но крепким. Благодаря этому мы имеем современные сплавы алюминия и титана, из которых делают корпуса самолётов. А знаете ли вы, что один из самых лёгких твёрдых материалов в мире — аэрогель? Его плотность всего в полтора раза больше плотности воздуха, и при этом он может выдерживать огромные нагрузки! Интересно, что исторически первым, кто столкнулся с задачей определения плотности, был великий Архимед. И его знаменитое «Эврика!» было связано именно с понятием объёма и плотности тела.

Итак, наша формула ρ = m/V — это трёхликий ключ. Например, если мы знаем, из какого вещества сделано тело (то есть знаем его плотность ρ), и можем измерить или вычислить его объём V, то массу найдём легко, как произведение плотности вещества и объёма тела:

Давайте потренируемся. Представьте, что вам нужно рассчитать массу бетонной плиты для фундамента. Допустим, площадь плиты равна 8 м², а её толщина — 20 см. Плотность бетона примем равной 2500 кг/м³.

Теперь «развернём» нашу формулу в другую сторону. Что если нам известна масса и плотность, а нужно найти объём? Легко! Из основной формулы получаем: V = m / ρ. То есть, чтобы найти объём, нужно массу тела разделить на его плотность.

Решим задачу. На склад нужно привезти 50 кг бензина и 50 кг ртути. Какой объём тары (в литрах) нужно подготовить для каждой жидкости?

Видите, какая огромная разница? Масса одинаковая, а объёмы отличаются в десятки раз из-за разной плотности.

Таким образом, когда известна плотность вещества, из которого состоит тело, можно легко вычислить его массу или объём. Для упрощения запоминания взаимосвязей между этими величинами удобно воспользоваться наглядной подсказкой в виде треугольника (он показан на экране).

С его помощью легко воспроизвести ключевые формулы:

масса вычисляется как произведение плотности на объём;

объём находится путём деления массы на плотность;

а плотность определяется делением массы на объём.

Следовательно, при наличии значений любых двух из трёх величин всегда возможно вычислить третью.

Наш урок подходит к концу, но хочется заглянуть немного дальше школьного кабинета — в бескрайние просторы Вселенной. Понятие плотности помогает учёным понять природу самых далёких объектов — звёзд. Возьмём наше Солнце. Его масса невообразимо велика — она в 330 000 раз больше массы Земли! Но и объём его колоссален — в 1 300 000 больше объёма Земли.

Если посчитать среднюю плотность Солнца по нашей формуле, то окажется, что она примерно в четыре раза меньше средней плотности Земли и составляет около 1,4 г/см³. Но надо помнить, что Солнце — не однородный шар. В его ядре плотность фантастически высока, а на периферии, в солнечной короне, — чудовищно мала.

Но и это не предел. Во Вселенной существуют удивительные звёзды, называемые белыми карликами. Так, например, было установлено, что звезда Сириус состоит из двух звёзд: главной яркой звезды и менее яркой звезды-спутника, который является белым карликом. Его средняя плотность составляет около 40 кг/см³! Если бы можно было наполнить спичечный коробок таким веществом, то для равновесия на другую чашу весов пришлось бы поставить пятнадцать взрослых человек.

А есть звезда Ван Маанена, плотность которой ещё выше — около 1200 т/см³. Такой коробок уравновесил бы гружёный 30-тонный железнодорожный вагон.

Вообще же, звёзд, обладающих очень большой плотностью, известно достаточно много. Но одна из них, значащаяся под номером 457 в каталоге звёзд Вольфа, имеет диаметр в 3 раза меньше земного. Но её средняя плотность невероятно большая — сто сорок тысяч тонн (140 000 000 г/см³ = 140 000 т/см³)!

Но Вселенная полна контрастов. Наряду с невероятно плотными объектами, в ней существуют и невообразимо разрежённые. Звёзды-гиганты, например, Бетельгейзе в созвездии Ориона, имеют плотность в тысячи раз меньшую, чем воздух, которым мы дышим. А есть звезда VV в созвездии Цефея, объём которой в 14 миллиардов раз больше солнечного, а плотность вещества в 250 000 раз меньше плотности воздуха. Это почти вакуум!

Так что вещество во Вселенной может существовать в состояниях, которые нам, на Земле, даже трудно вообразить: от чудовищно плотного ядра белого карлика до почти абсолютной пустоты космоса.

Таким образом, простая на первый взгляд формула плотности связывает воедино массу и объём, служит мостом между микромиром частиц и макромиром тел, а также является ключом к пониманию многообразия форм вещества в природе. Умение работать с ней — это важный практический навык для любого, кто хочет понимать, как устроен мир вокруг нас.