Область определения и множество значений тригонометрических функций

Сегодня на уроке мы с вами вспомним, как устанавливается соответствие между действительными точками и точками окружности с помощью поворота точки окружности, а также вспомним, что называют синусом, косинусом и тангенсом произвольного угла. Скажем, какие функции называются тригонометрическими функциями. Выясним, что является областью определения и множеством значений тригонометрических функций.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте возьмём окружность единичного радиуса с центром в начале координат и отметим на ней точку .

Тогда при повороте точки  на угол  радиан мы получим точку . При этом помним, что ордината точки  – это синус угла , а абсцисса этой точки – это косинус угла .

Далее считаем, что все углы измерены в радианной мере, и поэтому обозначение «радиан», как правило, опускается. Договорившись считать единицу измерения углов (1 радиан) фиксированной, определяем, например, синус числа x как синус угла в x радиан; косинус числа x как косинус угла в x радиан и так далее.

Так, каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа синус x и косинус x, то есть на множестве действительных чисел определены функции  и .

Получается, что областью определения функций игрек  и  является множество  всех действительных чисел.

Давайте найдём множество значений функции . Для этого надо выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, то есть надо установить, для каких значений y существуют такие значения x, при которых  равен y.

Мы знаем, что уравнение  имеет корни, если . И уравнение не имеет корней, если . Из этого следует, что множеством значений функции  является отрезок .

Найдём множество значений функции . Для этого надо выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, то есть надо установить, для каких значений y существуют такие значения x, при которых  равен y.

Знаем, что уравнение  имеет корни, если . И уравнение не имеет корней, если .

А значит, множеством значений функции  является отрезок .

Таким образом, можно сказать, что функции  и  являются ограниченными.

Теперь поговорим про функцию . Она определяется формулой .

 не должен обращаться в нуль, так как делить на нуль нельзя.

Функция  определена при тех значениях x, для которых .

Мы знаем, что решением уравнения  является .

Тогда областью определения функции  является множество  всех действительных чисел, кроме .

Известно, что уравнение  имеет корни при любом действительном значении . Следовательно, множеством значений функции  является множество  всех действительных чисел.

Осталось выяснить, что является областью определения и множеством значений функции . Запишем: . Здесь  не должен обращаться в нуль, так как делить на нуль нельзя. А значит, функция  определена при тех значениях x, для которых .

Корнем уравнения  является . Тогда областью определения функции  является множество  всех действительных чисел, кроме , .

Уравнение  имеет корни при любом действительном значении a, а значит, множеством значений функции  является множество  всех действительных чисел.

Таким образом, мы с вами выяснили, что является областью определения и множеством значений функций , ,  и . Эти функции называются тригонометрическими функциями.

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите область определения функций:

а) ; б) ; в) .

Решение.

Задание второе. Найдите множество значений функций:

а) ; б) .

Решение.

Задание третье. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение.