ЕГЭ 19-21 Фишки, оси идр

1-19 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежит числовая ось, вдоль которой они могут продвигать фишку. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может передвинуть фишку на 3 единицы или увеличить текущую позицию втрое.

3) Игра завершается в тот момент, когда фишка достигла отметки в 93 единиц или пересекла данную отметку. 

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и достиг отметки в 93 единиц или пересёк её.

Пример: из позиции 10 можно продвинуться в 13 или 30.

В начальный момент фишка находилась на значении S в диапазоне [1, 92].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность получить нужное значение для выигрыша при любых ходах противника.

Мы знаем, что Вероника выиграла своим первым ходом после неудачного хода Полины. Определите и запишите в ответ минимальное начальное значение S на оси, при котором возможна вышеописанная ситуация.

1-20 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежит числовая ось, вдоль которой они могут продвигать фишку. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может передвинуть фишку на 3 единицы или увеличить текущую позицию втрое.

3) Игра завершается в тот момент, когда фишка достигла отметки в 93 единиц или пересекла данную отметку. 

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и достиг отметки в 93 единиц или пересёк её.

Пример: из позиции 10 можно продвинуться в 13 или 30.

В начальный момент фишка находилась на значении S в диапазоне [1, 92].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность получить нужное значение для выигрыша при любых ходах противника.

Найдите два значения S, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, учитывая выполнение двух условий:

— Полина не может выиграть за один ход;

— Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.

Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания без разделителей.

Если значений больше двух, в ответ запишите сначала наименьшее значение, за ним наибольшее без разделителей.

1-21 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежит числовая ось, вдоль которой они могут продвигать фишку. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может передвинуть фишку на 3 единицы или увеличить текущую позицию втрое.

3) Игра завершается в тот момент, когда фишка достигла отметки в 93 единиц или пересекла данную отметку. 

4) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и достиг отметки в 93 единиц или пересёк её.

Пример: из позиции 10 можно продвинуться в 13 или 30.

В начальный момент фишка находилась на значении S в диапазоне [1, 92].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность получить нужное значение для выигрыша при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение S, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Вероники есть стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;

— у Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.

2-19 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежит лист бумаги, на котором написано двоичное число. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить справа или слева к уже имеющейся записи число 1001101.

3) Второй вариант хода: игрок может добавить справа или слева копию уже имеющейся записи.

4) Игра завершается в тот момент, когда количество единиц в двоичной записи стало не менее 155.

5) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму единиц, равную 155 или больше.

Пример: из записи 1011 можно получить:

1) 10011011011 или 10111001101

2) 10111011 

В начальный момент в записи было S единиц из диапазона [1, 140].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму единиц для выигрыша при любых ходах противника. 

Мы знаем, что Вероника выиграла своим первым ходом после неудачного хода Полины. Определите и запишите в ответ минимальное начальное количество единиц S в двоичной записи числа, при котором возможна вышеописанная ситуация.

2-20 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежит лист бумаги, на котором написано двоичное число. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить справа или слева к уже имеющейся записи число 1001101.

3) Второй вариант хода: игрок может добавить справа или слева копию уже имеющейся записи.

4) Игра завершается в тот момент, когда количество единиц в двоичной записи стало не менее 155.

5) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму единиц, равную 155 или больше.

Пример: из записи 1011 можно получить:

1) 10011011011 или 10111001101

2) 10111011 

В начальный момент в записи было S единиц из диапазона [1, 140].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму единиц для выигрыша при любых ходах противника. 

Найдите два значения единиц S, при которых у Полины есть выигрышная стратегия, учитывая выполнение двух условий:

— Полина не может выиграть за один ход;

— Полина может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вероника.

Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания без разделителей.

Если значений больше двух, в ответ запишите сначала наименьшее значение, за ним наибольшее без разделителей.

2-21 

Полина и Вероника играют в игру, правила которой заключаются в следующем: 

1) Перед игроками лежит лист бумаги, на котором написано двоичное число. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Полина.

2) За один ход игрок может добавить справа или слева к уже имеющейся записи число 1001101.

3) Второй вариант хода: игрок может добавить справа или слева копию уже имеющейся записи.

4) Игра завершается в тот момент, когда количество единиц в двоичной записи стало не менее 155.

5) Победителем является тот игрок, который сделал последний ход и получил сумму единиц, равную 155 или больше.

Пример: из записи 1011 можно получить:

1) 10011011011 или 10111001101

2) 10111011 

В начальный момент в записи было S единиц из диапазона [1, 140].

Примечание. Игрок обладает выигрышной стратегией, если у него есть возможность набрать нужную сумму единиц для выигрыша при любых ходах противника. 

Найдите минимальное значение единиц S, при котором параллельно выполняются два условия:

— у Вероники есть стратегия, позволяющая ей выиграть первым или вторым ходом при любой игре Полины;

— у Вероники нет стратегии, которая позволит ей гарантированно выиграть первым ходом.