Урок-игра "Применение производной к исследованию функций"

№ 1.

Решение.

D(P)=R

P’(t)== =

P’(t)=0

100-t²=0

t=

P(10)=1000+=1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

Производная в экономике

№ 2.

Решение:

Удельные затраты составят К(х)=-х²+98х+200.

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х²+98х+200.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

№ 4. Применение производной в физике

У Л. Н. Толстого есть рассказ “Много ли человеку земли надо”. О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желаемую сумму, предстал перед требованием старшины: “Сколько за день земли обойдёшь, вся твоя будет за 1000 руб. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырёхугольник периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? (Кодоскоп):

(Нет. Должен быть квадрат, а = 10 км).

Производная в медицине

№1.
Решение: 0xR(x)=x²(a-x)=ax² –x³

D(x)=R

R’(x)=2ax-3x²

2ax-3x²=0; x=0; x=.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.

Ответ: при х= максимальную реакция организма на введенное лекарство максимальна.

№3.

Решение:

Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц.

Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Производная в биологии

Задача № 1

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

Производная в экономике

Задача № 2

Цементный завод производит

х т цемента в день. По договору

он должен ежедневно поставлять

строительной фирме не менее

20 т цемента. Производственные

мощности завода таковы, что

выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=-х³+98х²+200х.

Производная в физике

Задача № 3

Известно, что тело массой m = 5кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

Производная в физике

Задача № 4

У Л. Н. Толстого есть рассказ “Много ли человеку земли надо”. О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желаемую сумму, предстал перед требованием старшины: “Сколько за день земли обойдёшь, вся твоя будет за 1000 руб. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырёхугольник периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? (Кодоскоп):

Производная в медицине

Задача № 1

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Cтепень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции описывается функцией у=R(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

Производная в экономике

Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых

накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x³+600x-1000.

Оценочный лист команды «АЛАН ПИНКЕРТОН»

Оценочный лист команды «ЭЖЕН ВИДОК»

Оценочный лист команды «СТЕПАН ШИШКОВСКИЙ»

Оценочный лист команды «АРКАДИЙ КОШКО»

Разработка открытого урока по теме: "Применение производной к исследованию функций"

План-конспект урока-игры “Детектив-шоу”

Урок проходит в компьютерном классе.

Эпиграф урока: “Величие человека — в его способности мыслить” (Паскаль).

Цели урока:

• систематизировать знания по теме,

• закрепить навыки дифференцирования,

Развивающая цель: развитие устойчивости внимания, переключение внимания, математической речи.
Воспитательная цель: воспитание сотрудничества, уверенности в себе.

Оборудование: кодоскоп, карточки-задания, сопроводительные рисунки к этапам урока (см. рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3, рисунок 4).

План урока

1. Организационный момент.

2. Устные упражнения.

3. Проверка техники дифференцирования.

4. Построение графика функции с помощью производной.

5. Решение задач. Практическое применение производной.

6. Итог урока. Задание на дом.

Ход урока

1. Организационный момент (ввод в сюжет)

Учитель. Сегодня у нас заключительный урок по теме: “Применение производной к исследованию функции”, на котором мы должны, систематизируя знания и умения, подготовиться к контрольной работе.

Наш урок пройдёт в форме игры “Детектив-шоу”. Четыре команды: “Алан Пинкертон”, “Эжен Видок”, “Аркадий Кошко” и “Степан Шишковский” примут участие в расследовании преступления. Я с вашего позволения буду ведущим детективом, главными детективами будут…

Экспертом у нас работает преподаватель Т.Б.Землянка …

Как и в любом детективе, у нас есть потерпевший — студент Петр Вакульский…

Потерпевший, расскажите, что с вами произошло.

— Час назад со мной связался мой шеф и сказал, чтобы я срочно вылетел в Сингапур для заключения очень выгодной для нашей фирмы сделки. Для меня уже заказан билет. Необходимые бумаги уложены в папку и оставлены в кабинете шефа. В моём распоряжении 2 часа. Я беру такси, приезжаю в офис, захожу в кабинет и вижу: до меня здесь уже побывали. Вещи все разбросаны, папки нет. Помогите найти важные документы как можно скорее, иначе я не успею в командировку, сорвётся сделка. Я даже не знаю, была ли папка на столе или, может быть, она лежит в сейфе, шифр к которому я не знаю.

Учитель: Прошу задавать вопросы потерпевшему.

Ученики. Знаете ли вы шифр сейфа? Кто из сотрудников имеет доступ в кабинет? И т. д.

Учитель. Команды, предлагайте ход расследования.

Ученики предлагают.

Учитель. Давайте обобщим ход нашего следствия и попытаемся в течение урока разобраться в происшествии.

Итак, план поиска:

1. Отпечатки пальцев.

2. Определение количества преступников.

3. Поиск шифра к сейфу.

4. Поиск свидетелей.

Приступим к первому пункту нашего плана.

2. Устные упражнения (поиск отпечатков пальцев)

Чтобы снять отпечатки пальцев вам необходимо предварительно ответить на ряд теоретических вопросов по теме: “Производная”, зарабатывая, таким образом, очки (по 0.5 балла) для своих команд. Эксперт и потерпевший фиксируют правильные ответы.

3. Техника дифференцирования (Определение количества преступников)

Учитель. С отпечатками пальцев мы разобрались, переходим к определению количества преступников.

Проводим небольшую проверку техники дифференцирования.

4. Построение графика. (Поиск шифра к сейфу)

Учитель. Судя по всему, преступник был один. Теперь попробуем угадать шифр сейфа.

Строим график функции и выясняем:

1. Решение задач. (Поиск свидетелей)

Учитель. Итак, шифр 1124 угадан. Открываем сейф и с большим сожалением видим, что он пуст. Продолжаем поиски, ищем свидетелей.

У меня имеются карточки. Представители команд, подойдите ко мне и выберите карточку. Решайте свои задачи. В случае затруднений помощь своему детективу оказывают товарищи. Если детективы, сидящие за столами, решили свои задания, они работают с другими и, по необходимости, оказывают помощь коллегам из других команд. Оценка ставится в зависимости от правильности и скорости решения.

(Тексты в конвертах).

Производная в биологии

Задача № 1

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

Производная в экономике

Задача № 2

Цементный завод производит

х т цемента в день. По договору

он должен ежедневно поставлять

строительной фирме не менее

20 т цемента. Производственные

мощности завода таковы, что

выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=-х³+98х²+200х.

Производная в физике

Задача № 3

При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с.

Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Функция времени .

Производная в физике

Задача № 4

У Л. Н. Толстого есть рассказ “Много ли человеку земли надо”. О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желаемую сумму, предстал перед требованием старшины: “Сколько за день земли обойдёшь, вся твоя будет за 1000 руб. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырёхугольник периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? (Кодоскоп):

Учитель. К нашему огорчению, найденные свидетели ничем следствию не помогли, кроме того, что подтвердили, что преступник был один. Остаётся последнее средство. Поскольку я являюсь ведущим детективом (смею надеяться, заслуженно), у меня есть идея, которой я поделюсь с вами, если вы быстро решите не совсем стандартное задание.

6. Построение графика квадратичной функции. (Нахождение украденных документов)

Учитель. Молодцы. А теперь возьмите в руки план классной комнаты (см. рисунок 5). Вам необходимо построить в данной системе координат график функции y = (x-5)²-6 и найти кратчайшее расстояние от точки минимума до прямой x = -4. Точка, в которую вы попадете, укажет, где спрятана папка. (Детективы находят нужную точку и видят спрятанную под столом папку).

Уважаемый потерпевший, это ваша вещь?

Потерпевший благодарит команды за помощь.

7.  Итог урока. Задание на дом

Итак, в нашей игре “Детектив-шоу” победила команда _______.

Все участники получают оценки за тест.

Кроме этого, _____.

Задание на дом.

Стр. 173 № 10 (а, б); № 11. 2) а, б; 3) а, б.

Приложение 5

окно

“ Величие человека — в его способности мыслить” (Паскаль).

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

живопись – радовать глаз,

поэзия – пробуждать чувства,

философия – удовлетворять потребности разума, инженерное дело –совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей!»

Морис Клайн

Если функция f

имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b),

то функция f возрастает

на интервале (а;b).

Если функция f

имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b ),

то функция f убывает на интервале (а;b).

Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная

f `(x) , то она равна нулю:

f `(x) = 0 .

0 на интервале (а; х 0 ), и f `(x) 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х 0 максимума." width="640"

• Если функция f непрерывна в точке х 0, а f `(x) 0 на интервале (а; х 0 ), и f `(x) 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f.
• Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х 0 максимума.

Y

+

-

10

9

8

-

+

7

6

5

4

-

+

3

2

1

X

-

+

0

-10

-7

-9

-8

4

10

1

5

6

7

8

9

-1

2

-2

-3

-4

-5

-6

3

-1

-2

-

-3

+

-4

-5

-6

+

-

-7

-8

-9

-10

0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f. Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума." width="640"

• Если функция f непрерывна в точке х 0 , f `(x) 0 ) и f `(x) 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f.
• Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Y

10

-

+

9

8

-

7

6

5

+

-

4

3

2

1

X

0

10

-8

9

4

-10

-9

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

3

2

5

7

8

6

-

+

-1

-2

-3

-

-4

+

-5

-6

-7

-

-8

+

-9

-10

ШИФР

Количество

МАХ функции

Количество

М IN

функции

Количество

нулей функции

Значение функции в точке максимума

Применение производной при решении задач с практическим содержанием

Необходимо построить в данной системе координат график функции функции y = (x-5) 2 -6 и найти кратчайшее расстояние от точки минимума до прямой x = -4функции y = (x-5) 2 -6 и найти кратчайшее расстояние от точки минимума до прямой x = -4

стр.155, №346( б, г, е, з),

№ 348(б, г)