Стоячие волны

1. Возникновение стоячих волн – простейший случай интерференции

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной.

Практически стоячие волны возникают при отражении от преград и неоднородностей. Падающая на преграду волна и бегущая отраженная накладываются друг на друга и образуют стоячую волну.

Свойства стоячих волн:

Стоячие волны возникают при интерференции бегущей и отраженной волн, имеющих в точке отражения одинаковую длину волны, но взаимно-противоположные направления распространения.

Все частицы в стоячей волне одновременно проходят через положения равновесия.

Каждая частица имеет свою амплитуду колебаний.

Определенные участки – узлы смещения – находятся постоянно в покое.

Посредине между узлами находятся участки наиболее интенсивного движения – пучности смещения.

При отражении от более плотной среды в месте отражения возникает узел смещения.

При отражении от менее плотной среды в месте отражения образуется пучность смещения.

Стоячая волна, имеющая наименьшую частоту, соответствует единственной пучности и называется основной частотой. Стоячие волны с более высокими частотами называются гармониками. Первой гармоникой называют основную частоту, вторая гармоника имеет частоту, равную удвоенной основной и т.д.

1.1. Демонстрация стоячих волн в струнах

Закрепим один конец длинного однородного шнура, а другой будем непрерывно раскачивать в вертикальной плоскости. К закрепленному концу побежит непрерывная волна, которая затем отразиться. Если продолжить качания, то возникнут волны, распространяющиеся в обоих направлениях, причем падающая волна будет интерферировать с отраженной. При этом может возникнуть полный беспорядок.

Однако если раскачивать конец шнура с правильно подобранной частотой, то интерференция падающей и отраженной волн приведет к возникновению стоячей волны, названной так, потому что будет выглядеть неподвижной. Мы обнаружим неподвижные точки – точки гасящей интерференции, называемые узлами, и точки усиливающей интерференции, называемые пучностями. Меняя частоту колебаний, изменим количество узлов.

Частоты, на которых возникают стоячие волны, называются собственными (или резонансными) частотами. Изучать собственные колебания натянутой струны можно при помощи установки, приведенной на рисунке ниже.

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛУГАНСКОЙ ОБЛАСТНОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АДМИНИСТРАЦИИ

КУ "ЛУГАНСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УЧАЩЕЙСЯ МОЛОДЕЖИ"

автор – составитель : А. С. Воронкин

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Луганск - 201 3

Тема VI .

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

План

6 .1. Возникновение стоячих волн – простейший случай интерференции

6 .1.1. Демонстрация стоячих волн в струнах

6 .1.2. Стоячие волны в трубах

6 .1.3. Стоячая волна и акустический резонанс в цилиндрическом сосуде с водой

6 .1.4. Демонстрация звуковой стоячей волны при помощи трубы Кундта

6 .1.5. Демонстрация звуковой стоячей волны при помощи трубы Рубенса

6 .1. 6 . Демонстрация звуковой стоячей волны, возникающей при конвекционном движении воздуха сквозь трубу Рийке

6. 2 . Собственные колебания плоских и пространственно-протяженных фигур

6 .3. Наблюдение стоячей волны на поверхности жидкости

6.1 . Возникновение стоячих волн – простейший случай интерференции

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой.

Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной .

Практически стоячие волны возникают при отражении от преград и неоднородностей. Падающая на преграду волна и бегущая отраженная накладываются друг на друга и образуют стоячую волну.

Для стоячих волн характерно расположение чередующихся максимумов и минимумов амплитуды

Свойства стоячих волн

• Стоячие волны возникают при интерференции бегущей и отраженной волн , имеющих в точке отражения одинаковую длину волны, но взаимно-противоположные направления распространения.
• Все частицы в стоячей волне одновременно проходят через положения равновесия .
• Каждая частица имеет свою амплитуду колебаний.
• Определенные участки – узлы смещения – находятся постоянно в покое.
• Посредине между узлами находятся участки наиболее интенсивного движения – пучности смещения .
• При отражении от более плотной среды в месте отражения возникает узел смещения.
• При отражении от менее плотной среды в месте отражения образуется пучность смещения.
• Стоячая волна, имеющая наименьшую частоту, соответствует единственной пучности и называется основной частотой . Стоячие волны с более высокими частотами называются гармониками . П ервой гармоникой называют основную частоту, вторая гармоника имеет частоту, равную удвоенной основной и т.д.

Источник: Glenbrook Glenview, Иллинойс

Результат интерференции двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях : c иняя волна движется вправо , a зеленая – влево

http://www.physicsclassroom.com/Class/waves/u10l4b.cfm

Примерами стоячих волн могут служить колебания струны, колебания столба воздуха в духовых инструментах и барабанах.

Стоячие волны возбуждаются в любых телах способных колебаться. Даже ударив по камню молотком, мы возбуждаем в нем стоячие волны. Образование стоячих волн происходит на собственных – резонансных частотах тела, которые определяются размерами тела.

Образование стоячей волны и визуализация колебаний частиц воздуха

Источник : http://ralphmuehleisen.com/animations.html

6 .1 .1. Демонстрация стоячих волн в струнах

Закрепим один конец длинного однородного шнура, а другой будем непрерывно раскачивать в вертикальной плоскости. К закрепленному концу побежит непрерывная волна, которая затем отразиться. Если продолжить качания, то возникнут волны, распространяющиеся в обоих направлениях, причем падающая волна будет интерферировать с отраженной. При этом может возникнуть полный беспорядок.

Однако если раскачивать конец шнура с правильно подобранной частотой, то интерференция падающей и отраженной волн приведет к возникновению стоячей волны, названной так, потому что будет выглядеть неподвижной. Мы обнаружим неподвижные точки – точки гасящей интерференции, называемые узлами , и точки усиливающей интерференции, называемые пучностями . Меняя частоту колебаний, изменим количество узлов.

В шнуре можно возбудить только тогда стоячие волны, когда на длине шнура укладывается целое число половин длины волны

Частоты, на которых возникают стоячие волны, называются собственными (или резонансными) частотами.

Изучать собственные колебания натянутой струны можно при помощи установки, приведенной на рисунке ниже.

Лабораторная установка для изучения собственных колебаний струны : 1 – якорь,

2 – вибратор, 3 – обмотки возбуждения, 4 – обмотка подмагничивания,

5 – звуковой генератор, 6 – рычаг, 7 – чашка весов

З А Д А Ч А

Струна длиной l туго натянута между двумя опорами. Скорость распространения волны в струне 405 м / с . Найти длину струны, если известно, что частота основного тона ( первой гармоники ) – 256 Гц.

Дано :

υ = 405 м / с

f 1 = 256 Гц

Найти :

l - ?

Р Е Ш Е Н И Е

C корость = частота • длину волны

длина волны = скорость распространения волны / частоту

λ = υ /f = 405/256 = 1,58 м

Длина струны =(1/2)• длину волны

l=(1/2)• λ =0,79 м

Стоячие волны и музыкальные инструменты

В музыкальных инструментах источник звука приводится в состояние колебаний, когда производят удары, перебирают струны, водят по струнам смычком или вдувают воздух. При этом возникают стоячие волны, и тело колеблется (совершает не одно какое-нибудь из собственных колебаний, а сразу несколько).

В случае свободных колебаний струн, стержней и столбов газа в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами колебаний соответствующей колебательной системы.

4 .1 .2. Стоячие волны в трубах

В духовых музыкальных инструментах используют открытую трубу (т.е. трубу, открытую с обеих сторон), или закрытую (трубу, открытую с одной стороны и закрытую с другой).

Труба, открытая с обеих сторон (а), труба, открытая с одной стороны и закрытая с другой (б), труба, закрытая с обеих сторон (в)

Например, флейта представляет собой открытую трубу, поскольку она открыта не только с той стороны, с которой в нее дует музыкант, но и с противоположной. В органах применяются как открытые, так и закрытые трубы.

Возникновение звука в

органной трубе

Орган «Ригер-Клосс» Харьковской филармонии

ВОЗМОЖНЫЕ ТИПЫ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ОТКРЫТОЙ ТРУБЫ

Графики показывают амплитуду смещения колеблющихся частиц воздуха внутри трубы.

Если диаметр трубы мал по сравнению с ее длиной (что обычно имеет место), то пучности возникают очень близко к концу трубы, что и показано на рисунке.

В ПУЧНОСТЯХ ОТКЛОНЕНИЯ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ ОТ ИХ РАВНОВЕСНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МАКСИМАЛЬНЫ, А В УЗЛАХ РАВНЫ НУЛЮ

Walter Fendt . Physics Applets . – Режим доступа : http://www.walter-fendt.de/ph14ru/stlwaves_ru.htm

Закрытая труба с одной стороны

В закрытой трубе на ее закрытом конце всегда возникает узел смещений, а на открытом конце – пучность.

На основной частоте колебаний внутри трубы умещается только четверть длины волны l= λ /4.

Возможные типы колебаний для закрытой c одной стороны трубы

где m = 1, 2,3,4 …

Итак, основная частота равна

В закрытой трубе имеются только нечетные гармоники, т.е. частоты обертонов равны основной частоте, умноженной на 3, 5, 7, .... Звуковая волна, частота которой равна частоте основной волны, умноженной на 2, 4, ..., не может иметь узел на одном конце и пучность на другом, а, значит, стоячие волны такой частоты в закрытой трубе не могут существовать.

Закрытая труба с двух сторон

6.1.3. Стоячая волна и акустический резонанс в цилиндрическом сосуде с водой

Камертон, возбуждаемый ударами молоточка по одной из его ветвей, излучает звуковые волны. Эти волны входят в отверстие металлической трубы ( x =0 ), отражаются от поверхности воды ( x = l ) и интерферируют с теми волнами, которые непосредственно бегут от камертона. В результате в трубе образуется стоячая волна.

Образование пучностей стоячей волны в сечении открытого торца трубы и узла y поверхности воды представляет собой условие резонанса для вынужденных колебаний в сплошной среде, в данном случае в воздухе. При выполнении этого условия получается максимальная громкость звука. На следующем рисунке показано распределение узлов и пучностей вдоль трубы для двух различных положений отражающей поверхности, при которых возникает резонанс.

l – расстояние от начала координат до уровня воды S , x – координата произвольной точки В

В случае первого резонанса (рис.а), расстояние s 1 от отражающей поверхности до открытого торца трубы равно расстоянию от узла до ближайшей пучности, т.е. s 1 = λ/4.

Понижение уровня жидкости в трубе приведет к нарушению условия резонанса, в результате звук ослабевает.

Дальнейшее понижение уровня жидкости в трубе может привести к состоянию, когда вновь будет наблюдаться максимальная громкость. Это будет соответствовать второму резонансу. Распределение узлов и пучностей вдоль трубы для этого случая приведено на рис. б.

Видно, что теперь расстояние от открытого торца трубы до поверхности воды составляет s 2 = λ/2 + λ/4 = 3λ/4.

Распределение узлов и пучностей в воздушном столбе трубы-резонатора

6.1.4. Демонстрация звуковой стоячей волны при помощи трубы Кундта

Немецкий физик Август Кундт ( 1839 – 1894 ) в своих опытах по изучению стоячей звуковой волной в газах использовал горизонтально расположенную стеклянную трубку, в которой тонким слоем равномерно были насыпаны мелкие пробковые опилки .

В один конец трубки был введён звуковой излучатель, в другой конец трубки свободно входил поршень-отражатель. Изменяя положение отражателя, можно было добиться того, чтобы между излучателем и отражателем устанавливалась стоячая волна .

При этом порошок в трубке собирался в кучки, отстоящие друг от друга на одинаковые расстояния, обозначая узлы смещений стоячей волны.

Наблюдение стоячей звуковой волны в трубе Кундта – во время колебаний пробковая пыль образует тонкие, перпендикулярные к оси трубы слои

6 .1 .5. Демонстрация звуковой стоячей волны при помощи трубы Рубенса

Для демонстрации связи между звуковыми волнами и давлением газа воспользуемся трубой Рубенса. На одном из торцов горизонтально расположенной трубы, перфорированной по всей длине, прикреплена мембрана, а ко второму подключен источник горючего газа (например, пропан).

В 1904 году немецкий физик Генрих Рубенс во время эксперимента использовал 4х-метровую трубу, в которой насчитывалось 200 отверстий с шагом 2 см.

Устройство трубы Рубенса: 1 – баллон с газом, 2 – клапан, 3 – металлическая труба с отверстиями, 4 – мембрана, 5 – громкоговоритель, 6 – тон-генератор

Просачивающийся через отверстия газ поджигают, при этом высота язычков пламени будет одинаковой.

Теперь напротив мембраны устанавливают громкоговоритель, подключенный к генератору гармонических колебаний.

Когда громкоговоритель включен, в трубе формируются области повышенного и пониженного давления.

Там, где благодаря звуковым волнам находится область повышенного давления, через отверстия просачивается больше газа и высота язычков пламени увеличивается .

Формирование областей повышенного и пониженного давления в трубе Рубенса

4 .1 .5. Демонстрация звуковой стоячей волны, возникающей при конвекционном движении воздуха сквозь трубу Рийке

Первые записи о колебаниях, порождаемых теплом, были сделаны Хиггинсом в 1777 г. Он экспериментировал с расположенной вертикально и открытой с обоих концов стеклянной трубкой, в которой акустические колебания возбуждались с помощью водородной горелки. Этот опыт вошёл в историю, как «поющее пламя Хиггинса».

Однако, в современной физике более известен другой эксперимент, получивший название «трубка Рийке». В 1859 г. Пауль Рийке заменил водородное пламя Хиггинса на подогреваемую проволочную сетку, помещенную на расстоянии ¼ длины трубы от нижнего конца. При этом в трубе происходит самовозбуждение звуковых колебаний на частоте основного тона трубы:

По мере остывания сетки громкость звучания ослабевает.

Звучание происходит только в том случае, если в трубе образуется сквозная тяга (для этого труба и размещается вертикально).

Если звучащей трубе придать горизонтальное положение – звучание прекратится. Однако после возвращения в вертикальное положение труба вновь начинает звучать.

Также звучание прекратится, если верхний конец трубы закрыть.

6 . 2. Собственные колебания плоских и пространственно-протяженных фигур

Стоячие волны могут образовываться в телах любой формы, а не только в таких сильно удлиненных телах, как струны и трубы. Неподвижные места стоячей волны (ее узлы) представляют собой поверхности, рассекающие объем тела на участки, в середине которых колебания наиболее сильны (так называемые пучности).

Строго говоря, в случае струны мы также имеем узловые поверхности – неподвижные поперечные сечения. Но так как протяженность этих сечений невелика по сравнению с длиной струны, то мы говорим об узловых точках, рассматривая сами тела как геометрические линии.

Если тело приближается по своей форме к геометрической поверхности, т. е. представляет собой пластинку (плоскую или изогнутую), то в ней узловые поверхности можно считать узловыми линиями.

Наглядный способ наблюдения стоячих волн в пластинках предложил немецкий физик Эрнст Хладни (1756–1827 гг.).

Классическая постановка эксперимента выглядит так. Если закрепить в тисках центр стеклянной или металлической квадратной тонкой пластинки, однородно посыпать ее сверху мелким песком, коснуться пальцем в средней точке одной из свободных сторон и провести смычком по противоположному краю ближе к одному из углов, то песок соскакивает с большей части поверхности и собирается по длине двух узловых линий, которые разделят большой квадрат на четыре меньшие.

Посыпав еще раз песком поверхность пластинки, коснувшись одного из ее углов и проведя смычком по середине стороны, можно получить две резко обозначенные полосы, проходящие по диагоналям.

Колебательные моды прямоугольной мембраны

Vibrational Modes of a Rectangular Membrane

http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/MembraneSquare/Square.html

Фигуры, образуемые скоплением сыпучих мелких частиц (например, песка и т.д.) вблизи неподвижных (узловых) линий на поверхности упругой колеблющейся пластинки называют фигурами Хладни.

Вид фигур зависит от формы пластинки и положения закрепленной точки, а также от того, в каком месте проводить смычком и где придерживать при этом пластинку пальцами.

Первое сообщение о фигурах появилось в первой работе Э. Хладни «Entdeckungen über die Theorie des Klanges» в 1787г. Уже тогда насчитывалось 138 фигур на квадратных и круглых пластинках (со временем это число возросло).

Эрнст Хладни

(1756–1827)

Колебания круглой мембраны

Источник : http://en.wikipedia.org/wiki/Vibrations_of_a_circular_drum

В О П Р О С

Однородно насыпаем на пластинку хорошо перемешанный песок с пылью. При одном и том же движении смычка появляется вибрация пластины, песок и пыль начнут разделяться и образовывать независимые узоры (песок создаст один узор, а мелкая пыль – совсем другой) . Почему?

Под действием смычка пластина начинает колебаться. Характер колебаний, то есть места расположения максимумов и минимумов, зависит от формы пластины и от точки ее закрепления. При движении смычка песок, находящийся в местах пучностей, ссыпается в те участки, где расположены узловые линии. Таким образом, картина колебаний становится видимой. То же происходит и с мелкой пылью, но ее уносят воздушные потоки, возникающие при вибрации пластины. Поскольку эти потоки направлены вдоль пластины от узлов к пучностям (откуда они уходят вверх), пыль попадает в пучности, где и оседает.

В  наше время для демонстрации фигур Хладни вместо смычка использ уют механический вибратор ( громкоговоритель), закрепленный под пластиной и подключенный к звуковому генератору

Ф игуры Хладни п родолжают использовать для изучения колебаний подвижных поверхностей электроакустических преобразователей (мембран), плоскостных колебаний дек музыкальных инструментов.

Пример образования стоячих волн на верхней деке классической гитары (Дженссон, 1971 г.)

Изгибание пластинок подводит нас к колебанию стакана или колокола. Колебания этих тел уже весьма сложны. На рисунке показано, как колеблется стакан, если ударить его по краю.

Узловые линии нарисованы жирно, а штриховыми линиями показано (в увеличенном виде), как изгибаются стенки стакана при основном колебании.

На другом рисунке показан вид сверху: в «К» мы имеем точки выхода четырех узловых линий, идущих по «меридианам» поверхности. Приблизительно так же мы можем представить себе простейшие колебания колокола.

Карильон

Карильон - это колокольный многоголосный музыкальный инструмент западноевропейского происхождения . Известен с IX века.

Ранее карильон устанавливался на зданиях городских ратуш и церковных колокольнях, ныне стал помещаться и на отдельных специально отстроенных архитектурных сооружениях башенного типа - для использования его в качестве самостоятельного концертного инструмента.

В объемной стальной раме неподвижно закреплены игральные колокола.

Их языки проволочными тросами подведены к их краям. Тросы через коленчатые рычаги тянутся к клавиатуре и педалям.

Карильон Петропавловского собора

Ганс Йенни “ Волны, вибрация, их структура и динамика ”

В 1967 году швейцарский физик и врач Ганс Йенни опубликовал книгу “ Волны, вибрация, их структура и динамика ”.

Он исследовал геометрию звуковых вибраций, пользуясь тонкими контейнерами, наполненными следующими средами – песком, мокрым гипсом и разными жидкостями с плавающими в них частицами (коллоидами). В этой книге особый интерес представляет коллоидная жидкость.

Пребывая в состоянии покоя, коллоиды равномерно распределяются в жидкости.

Ганс Йенни: пример звуковых вибраций в коллоидной водной смеси

Однако при вибрации контейнера на определенных частотах, частицы в жидкости собирались в упорядоченные и видимые геометрические фигуры с двумерной, а иногда и трехмерной структурой.

6.3 . Наблюдение стоячей волны на поверхности жидкости

Поставим перпендикулярную к направлению распространения плоской волны пластинку.

Между колеблющейся и отражающей пластинами получается ряд параллельных им и не перемещающихся полос, удаленных друг от друга на полволны. В минимумах поверхность воды практически неподвижна.

Стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы.

Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Аллигаторы при ухаживании за самками возбуждают в воде стоячие волны, возникающие при частоте около 10 Гц. В качестве “ музыкального инструмента ” самцы используют неровности спинной брони.

Возникло предположение о возникновении стоячей волны

Когда частота вибраций достигает определённой величины, поверхность жидкости теряет ровность и гладкость, покрываясь рельефным неподвижным «узором» из гребней и впадин; характер узора может быть довольно сложным (феномен впервые описан Майклом Фарадеем в 1831 году).

Стоячая волна на поверхности жидкости

Налейте в бокал с тонкими стенками воды. Нажимайте на стенки бокала. После нескольких попыток можно увидеть, что поверхность воды покрывается рябью. Рябь рождается в четырех точках у стенок бокала.

C тоячие волны на поверхности воды, налитой в небольшой сосуд. Сосуд укрепляется на мембране динамика, который подключался к генератору.

Кротов Д . А . Изучение стоячих волн на поверхности

колеблющейся капли жидкости

http://asf.ural.ru/VNKSF/Tezis/v7/Base/Tesis.php-Code=143.htm

Источники

• Воронкин А. С. Введение в физику звука / А. С. Воронкин. – Луганск : Изд-во ЛГИКИ, 2012. – 96 с.
• Николаев В. И. Пособие по физике для поступающих в вузы / В. И. Николаев и др. – М. : Изд-во МГУ, 1972. – 351 с.
• Тімонюк В. А . Біофізика / В. А. Тімонюк , Е. Н. Животова. – К. : Професіонал, 2001. – 704 с.
• Федіншин Я. І. Фізика з основами біофізики / Я. І. Федіншин. – Львів : Світ, 2000. – 458 с.
• Douglas L. Jones. Frequency and Music / L. Jones Douglas, Schmidt-Jones Catherine [ Электронный ресурс ]. – Rice University, Houston, Texas. – Режим доступа : http://cnx.org/content/col10338/1.1/pdf.
• Интернет-ресурсы