Разработка урока по геометрии "Многогранники вокруг нас"

Цели:

систематизировать знания об основных видах многогранников, показать их применение в других видах деятельности,

формировать и развивать эвристическое мыш­ление, показать, какую роль играет математика в раз­витии общества, развивать самостоятельность, творчество, мораль­но-эстетические качества личности.

Форма проведения: групповая (ученики заранее делятся на три группы: «историки», «математики» и «биологи»). Все три группы пишут рефераты по дан­ным темам: «историки» связывают раздел «Много­гранники» с историей математики; «математики» исследуют тему с математической точки зрения; «био­логи» ищут связи многогранников с биологией, а так­же роль и место многогранников в природе; изучая рефераты, учитель предлагает, что лучше всего стоит продемонстрировать на конференции.

Ход урока.

Учитель. Ни одни геометрические тела не обла­дают таким совершенством и красотой, как правиль­ные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало, — написал когда-то Л. Кэрролл, — но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (ГЦ}.

Сегодня на уроке мы поговорим о многогранни­ках, а точнее о том, где встречаются многогранники в природе. А также услышим мнения ученых древно­сти об использовании многогранников.

Учитель. Как много существует правильных мно­гогранников?

«Математики». Существует всего пять таких многогранников.

И далее доказывают, что не существует правильного много­гранника, гранями которого являются правильные шести­угольники, семиугольники и, вообще, га-угольники при га > 6. После доказательства пока­зывают модели правильных многогранников (тетраэдр, до­декаэдр, икосаэдр, октаэдр). Говоря, например, о додекаэдре, уточняют, что додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, каждая его вершина является вер­шиной трех пятиугольников, а сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°; таким образом, до­декаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

«Историки». Инте­рес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни — и малым ребенком, иг­рающим деревянными кубиками, и зрелым математиком.

Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появле­ния человека, а в исто­рии цивилизации созда­ние многогранных тел (подобных пирамидам) уходит вглубь веков. Пять правильных тел изучали Театет, Пла­тон, Евклид, Гипсикл, Папп. Платон связал с этими телами формы атомов основных сти­хий природы. (Стихия­ми натурфилософы называли вещества, из которых путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагре­вания образуются все тела.)

Пи­фагорейцы считали, что огонь состоит из мельчай­ших (а потому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «ос­трыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью.

Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел. Он настолько прост, что был известен еще древним египтянам, а математики изу­чали геометрические свойства тетраэдра одновремен­но с изучением свойств куба. Тетраэдр обладает ра­циональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий — зем­ле — пифагорейцы ставили в соответствие самый ус­тойчивый многогранник — куб.

 И. Кеплер (1571-1630) написал этюд «О снежинке», в котором выска­зал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба гра­ней».

«Историки». С помощью простых и сложных ато­мов Платон попытался даже отразить взаимоотноше­ния между стихиями:

1 вода = 2 воздух + 1 огонь.

Это «уравнение» надо понимать так: в элемен­те воды — икосаэдре — 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые, в свою очередь, составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела — прямоуголь­ные «треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы. Следовательно, сложный атом икосаэдр со­стоит из 6 * 20 = 120 простых атомов-треугольников. В элементе воздуха восемь граней, а значит, 6 * 8 = 48 треугольников. Но по уравнению взято два элемента воздуха, поэтому общее число треугольников 48 * 2 = 96. В элементе огня четыре грани, а значит, 6 * 4 = 24 треугольника. Итак, равенство соблюдено — 20 граней и 120 треугольников:

(8-2 + 4) граней и (48 * 2 + 24) треугольников

«Биологи».

Математики го­ворили, что пчелы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Мы сейчас попытаемся пояснить, почему пчелы строят соты именно так.

Пчелы — удивительные созда­ния. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет вид­на сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площа­дью наименьший периметр именно у правильных ше­стиугольников.

Стало быть, мудрые пчелы экономят воск и время для постройки сот. На рисунке 4 изоб­ражена пчелиная ячейка в общем виде, а на рисун­ке 5 можно уви­деть, как соприка­саются ячейки в улье: их общая часть является ромбом. Какая же здесь выгода для пчел? А дело вот в чем.

Весь материал - в документе.

_{«Многогранники вокруг нас»}

Цели:

• систематизировать знания об основных видах многогранников, показать их применение в других
  видах деятельности,

• формировать и развивать эвристическое мыш­ление, показать, какую роль играет математика в раз­
  витии общества,

• развивать самостоятельность, творчество, мораль­но-эстетические качества личности.

Форма проведения: групповая (ученики заранее делятся на три группы: «историки», «математики» и «биологи»). Все три группы пишут рефераты по дан­ным темам: «историки» связывают раздел «Много­гранники» с историей математики; «математики» исследуют тему с математической точки зрения; «био­логи» ищут связи многогранников с биологией, а так­же роль и место многогранников в природе; изучая рефераты, учитель предлагает, что лучше всего стоит продемонстрировать на конференции.

ХОД УРОКА

Учитель. Ни одни геометрические тела не обла­дают таким совершенством и красотой, как правиль­ные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало, — написал когда-то Л. Кэрролл, — но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (ГЦ}.

Сегодня на уроке мы поговорим о многогранни­ках, а точнее о том, где встречаются многогранники в природе. А также услышим мнения ученых древно­сти об использовании многогранников.

Учитель. Как много существует правильных мно­гогранников?

«Математики». Существует всего пять таких многогранников.

И далее доказывают, что не существует правильного много­гранника, гранями которого являются правильные шести­угольники, семиугольники и, вообще, га-угольники при га 6. После доказательства пока­зывают модели правильных многогранников (тетраэдр, до­декаэдр, икосаэдр, октаэдр). Говоря, например, о додекаэдре, уточняют, что додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, каждая его вершина является вер­шиной трех пятиугольников, а сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°; таким образом, до­декаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

«Историки». Инте­рес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни — и малым ребенком, иг­рающим деревянными кубиками, и зрелым математиком.

Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появле­ния человека, а в исто­рии цивилизации созда­ние многогранных тел (подобных пирамидам) уходит вглубь веков. Пять правильных тел изучали Театет, Пла­тон, Евклид, Гипсикл, Папп. Платон связал с этими телами формы атомов основных сти­хий природы. (Стихия­ми натурфилософы называли вещества, из которых путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагре­вания образуются все тела.)

Пи­фагорейцы считали, что огонь состоит из мельчай­ших (а потому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «ос­трыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью.

Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел. Он настолько прост, что был известен еще древним египтянам, а математики изу­чали геометрические свойства тетраэдра одновремен­но с изучением свойств куба. Тетраэдр обладает ра­циональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий — зем­ле — пифагорейцы ставили в соответствие самый ус­тойчивый многогранник — куб.

И. Кеплер (1571-1630) написал этюд «О снежинке», в котором выска­зал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба гра­ней».

«Историки». С помощью простых и сложных ато­мов Платон попытался даже отразить взаимоотноше­ния между стихиями:

1 вода = 2 воздух + 1 огонь.

Это «уравнение» надо понимать так: в элемен­те воды — икосаэдре — 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые, в свою очередь, составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела — прямоуголь­ные «треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы. Следовательно, сложный атом икосаэдр со­стоит из 6 ■ 20 = 120 простых атомов-треугольников. В элементе воздуха восемь граней, а значит, 6 • 8 = 48 треугольников. Но по уравнению взято два элемента воздуха, поэтому общее число треугольников 48 • 2 = 96. В элементе огня четыре грани, а значит, 6 • 4 = 24 треугольника. Итак, равенство соблюдено — 20 граней и 120 треугольников:

(8-2 + 4) граней и (48 • 2 + 24) треугольников

«Биологи».

Математики го­ворили, что пчелы строили свои шестиугольные соты задолго до
появления человека. Мы сейчас попытаемся пояснить, почему пчелы строят соты именно так .
Пчелы — удивительные созда­ния. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет вид­на сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площа­дью наименьший периметр именно у правильных ше­стиугольников.

Стало быть, мудрые пчелы экономят воск и время для постройки сот. На рисунке 4 изоб­ражена пчелиная ячейка в общем виде, а на рисун­ке 5 можно уви­деть, как соприка­саются ячейки в улье: их общая часть является ромбом. Какая же здесь выгода для пчел? А дело вот в чем.

Площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы.

При такой «математической» работе пчелы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при по­стройке 54 ячеек, может быть использовано для по­стройки одной такой же ячейки. Пчелиные соты пред­ставляют собой пространственный паркет и заполня­ют пространство так, что не остается просветов.

Как не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». А где еще возможно увидеть эти удивительные тела?

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Здесь мы видим и одноклеточные организмы — феодарии, фор­ма которых точно передает икосаэдр. Из всех много­гранников с таким же коли­чеством граней именно ико­саэдр имеет наибольший объем и наименьшую пло­щадь поверхности. Это гео­метрическое свойство помо­гает морскому микроорга­низму преодолевать давле­ние водной толщи.

Было выяснено, что существует всего пять правильных многогранников. И наверное, у многих возник вопрос: а существует ли связь между числом вершин (В), гра­ней (Г), ребер (Р) многогранника? Ответ на этот воп­рос дала теорема Эйлера: для всякого выпуклого мно­гогранника между числами В, Г и Р выполняется соотношение В + Г - Р = 2.

Теорема Эйлера: число вершин – число ребер + число граней =2.

На интерактивной доске высвечивается таблица, которую учащиеся заполняют.

Учащиеся выполняют задания, которые высвечиваются на интерактивной доске.

Учитель. Мы с вами рассмотрели: где встречают­ся многогранники, для чего мы их изучаем в школе, что называют правильными многогранниками и сколь­ко их существует. А также рассказали исторические предположения на применения правильных много­гранников, некоторые из них в какой-то степени ока­зались пророческими. Я думаю, каждый для себя сделает выводы в области математики, насколько близка с нами математика, как важно ее изучать.