Разработка открытого урока по математике на тему "Многогранники"

Тема урока: «Многогранники. Правильные многогранники».

Цели урока:

Образовательные: дать понятие правильных многогранников, выяснить сколько их существует, каковы их названия и где они применяются; показать меж предметные связи;
Развивающие: способствовать развитию логического мышления, выражать речью результаты мыслительной деятельности, способствовать овладению учащимися умениями практической самостоятельной работы; 
Воспитательные: воспитывать культуру взаимоотношений в группе, способствовать развитию устойчивого интереса к математике через применение информационных технологий. 

Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование и материалы для урока: мульти проектор, презентация для сопровождения урока, развертки правильных многогранников, раздаточный материал (таблица) 

Ход урока.

1. Организационный момент: Приветствие. Сообщение темы и целей урока (2 мин)

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Слайд 2

Откройте тетради, запишите число и тему сегодняшнего урока: «Правильные многогранники»

2. Актуализация опорных знаний.( повторение изученного материала) (3 мин)

На данный момент вы уже имеете первоначальные сведения из геометрии. Давайте с вами вспомним с чего начинается изучение геометрии. (С точки, прямой, отрезка, луча, угла, окружности.)

После элементарного мы переходим к более сложному – геометрическим фигурам. Мы с вами знаем, что существуют фигуры на плоскости и в пространстве.

Назовите фигуры, которые можно отнести к фигурам на плоскости (треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция и многие другие), к фигурам в пространстве ( параллелепипед, куб, пирамида).

А теперь давайте вспомним, что мы называем правильными многоугольниками (это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны) Приведите примеры (квадрат, равносторонний треугольник, пятиугольник).

Многоугольники простейшие фигуры на плоскости. Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве.

Дайте определение многогранника (многогранник – это часть пространства ограниченная плоскими многоугольниками – гранями).

Какой многогранник называется выпуклым? (Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости его граней).

3. Изучение нового материала. (15 мин)

Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками. Слайд 3

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК- выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Слайд 4

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. Слайд 5

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов) Слайд 6

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников. Слайд 7

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников. Слайд 8

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. Слайд 9

Почему же правильные многогранники получили такие имена? Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: Слайд 10

«эдра» - грань,«тетра» - 4,«гекса» - 6,«окта» - 8,«додека» - 12, «икоса» - 20.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами,поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Слайд 11

Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Слайд 12

Итак, существует пять видов многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых многогранников.

4. Закрепление изученного. (20 мин)

• Практическая работа в группах. Создание моделей правильных многогранников с помощью разверток

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки: Слайд 13



У вас на столах развертки правильных многоугольников. Ваша задача изготовить модели правильных многогранников, склеив развертки.

• Исследовательская работа. Слайд 14 

Определение основных свойств правильных многогранников.

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)

Проверим результаты заполнения таблицы 

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер(1707-1783), поэтому формула названа его именем формула Эйлера. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником. Слайд 15

Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

• Правильные многогранники вокруг нас. 

В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля Красота форм в природе можно прочитать такие строки: «Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы».

Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Слайд 16

Сегодня на уроке вы изготовили модели правильных многогранников, склеиванием разверток. Есть еще один способ изготовления моделей, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги.

Особенно красивы модели правильных многогранников Платоновы тел сделанных из цветной бумаги. Кроме традиционных елочных украшений хлопушек и фонариков можно сделать такие геометрические игрушки. Слайд17

Симметричность многогранников, позволила создать серию головоломок - знаменитая на весь мир игрушка кубик Рубик, похожая на кубик Рубик игрушка “Тетраэдр” Слайд18

Многие удивительно красивые пространственные формы придумал не сам человек, их создала природа. Кристаллы – природные многогранники. Свойства кристаллов, изучаемые на уроках химии и физики, определяются их геометрическим строением. Об этом вам расскажет учитель физики. 

5.Итог урока (5 мин)

1. Подведем итог изученного материала:

- С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?

-Виды и названия правильных многогранников 

2. Рефлексия Слайд 19

- Если вам понравился урок и вы чувствуете, что тему поняли, то выбираете смайлик счастья.

- Если урок понравился, но не всё ещё понятно, то смайлик печали.

- Если и урок не понравился, и всё не понятно, то плачущий смайлик.

3. Домашнее задание: стр.70-71,п. 32,изготовить на выбор модели многогранников (полуправильных и звездчатых)

4. Выставление отметок

Мы с вами рассмотрели: что называют правильными многогранниками и сколько их существует; где встречаются многогранники, для чего мы их изучаем. Я думаю, каждый из вас для себя сделает выводы в области математики, насколько она близка с нами, как важно ее изучать.

Литература:
1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 11 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень) / М.И. Башмаков. -2-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2009.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11.М.: Просвещение,2010.
3. Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.