Различия между математической логикой и философской

МОУ СОШ №10

г.о.Люберцы

Московская область

РЕФЕРАТ

«Различия между математической логикой и философской»

Разработала: учитель информатики

Давыдова О.Н.

201

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ………………………………………………………………………...3

Глава 1. Теоретические аспекты изучения темы различия между математической логикой и философской ………………………………………6

1. Предпосылки возникновения философской логики и история

исследования математической логики……………………………………6

1. Предмет познания философской логики …………………………9

2. Предмет изучения математической логики………………………10

Глава 2. Исследования различия между математической логикой и философской……………………………………………………………………..13

2.1 Философская точка зрения логики и математики …………………13

2.2 Отличительные особенности действий математической логики и

философской логики…………………………………………………………………………….15

Заключение……………………………………………………………………….17

Список использованной литературы…………………………………………...19

ВВЕДЕНИЕ

Мышление человека подчиняется логическим законам и протекает в логических формах независимо от науки логики. Логика, как её определяют В. А. Бочаров и В. И. Маркин в своём учебнике «Введение в логику», – это нормативная наука о формах, законах и приёмах интеллектуальной познавательной деятельности¹. Она является лишь следствием существования определенного закономерного положения вещей и является его систематизированным и упорядоченным отражением.

Философская логика ̶ это широкая область логических исследований, направленная на философское осмысление основных понятий, применяемых в современной логике, и результатов, полученных средствами символической логики, а также применение логического аппарата неклассических логик к анализу и реконструкции различных философских проблем, полученных средствами математической логики. Философская логика является результатом междисциплинарного взаимодействия философии и логики, причём её следует отличать от таких дисциплин, как логика философии, логическая философия и философия логики, так как существуют характерные различия в том, чем каждая из них занимается. С более подробным изучением междисциплинарности и её логическим анализом можно ознакомиться в статье профессора В. Л. Васюкова «Междисциплинарность: логический анализ»².

Математическая логика ̶ современный вид формальной логики, изучающей различные умозаключения. Аналогично философской, математическая логика также является результатом междисциплинарного взаимодействия логики и математики.

Логику, основанную Аристотелем, называют формальной, она возникла и развивалась как наука о формах мышления. Ее называют аристотелевской, или традиционной, логикой. Со второй половины XIX в. в логической науке широко применяются математические методы, используются искусственные (формализованные) языки. Это направление принято называть математической, или символической, логикой. Её называют также современной логикой в отличие от логики традиционной. Символическая логика превратилась в интенсивно развивающуюся область научных исследований, включающую множество разделов, также называемых «логиками»: логика высказываний, логика предикатов, многозначная логика, модальная логика и так далее. Исследование логических проблем в системах символической логики оказало существенное влияние на дальнейшее развитие формальной логики в целом. Философская логика представляет собой теорию диалектического метода, законы и принципы которого — объективность и всесторонность рассмотрения, единство исторического и логического, восхождение от абстрактного к конкретному — ориентируют на исследование явлений в их взаимосвязи, изменении и развитии. Математическая логика не изучает изменение и развитие. Ее предмет — формы, законы, операции мышления, соблюдение которых является необходимым условием познания окружающего мира.

Цель работы: постановка соответствий и основных различий между математической логикой и философской.

В соответствии с поставленной целью необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить предпосылки возникновения философской логики и историю возникновения математической логики.

2. Рассмотреть предметы познания философской логики и предмет изучения математической логики.

3. Обосновать, что философская логика является источником познания, развития от абстрактного к конкретному, а также условием изучения математической логики и познания окружающего мира.

4. Изучить литературные источники по данной теме.

Объект исследования: логика как наука.

Предметы исследования: математическая и философская логики.

Основным методом исследования в данной работе является сравнительный анализ математической и философской логик.

Выдвигаем гипотезу о том, что источником полезных знаний служит философская логика и математическая логика, при использовании которых происходит обогащение и взаимосвязь философской логики и математическая логики.

Глава 1. Теоретические аспекты изучения темы различия между математической логикой и философской

1. Предпосылки возникновения философской логики и история исследования математической логики.

Логика представляет собой закономерные, последовательные мыслительные процессы, с помощью которых можно увидеть и определить причинно-следственную связь, возникающую между предметами и явлениями. Логическое мышление необходимо нам для того, чтобы вовремя проанализировать и применить ранее полученную информацию.

Термин «философская логика» появился в англоязычной логико-философской литературе и получил широкое применение в 1950—1960-е гг. С одной стороны, кризис в основаниях математики (обнаружение парадоксов в теории множеств и ограничительные теоремы А. Тарского и К. Гёделя) потребовал глубокого осмысления самого концептуального аппарата логики. С другой стороны, появление и бурное развитие неклассических логик, в первую очередь модальной логики, привлекло широкое внимание логиков с философской ориентацией.

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления (отсюда одно из ее названий ̶ формальная логика), были заложены одним из величайших древнегреческих философов Аристотелем (384-322 гг. до н. э.). В своих трактатах: «Категории», «Об истолковании», Первая и Вторая «Аналитики», «Топика» и «О софистических опровержениях»³ ̶ он обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия и исключенного третьего. Вклад Аристотеля в логику весьма велик, недаром другое её название ̶ Аристотелева логика. Еще сам Аристотель заметил, что между созданной им наукой и математикой (тогда она именовалась арифметикой) много общего. Он пытался соединить две эти науки, а именно свести размышление, или, вернее, умозаключение, к вычислению на основании исходных положений. В одном из своих трактатов Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической логики ̶ теории доказательств.

В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления высказываний. Однако ближе всех к созданию математической логики подошел уже во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716), указавший пути для перевода логики «из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно». Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить, станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав⁴. При этом в своих работах Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления.

Следует отметить, что идея использования двух символов для кодирования информации очень стара. Австралийские аборигены считали двойками, некоторые племена охотников-сборщиков Новой Гвинеи и Южной Америки тоже пользовались двоичной системой счета. В некоторых африканских племенах передают сообщения с помощью барабанов в виде комбинаций звонких и глухих ударов. Знакомый всем пример двухсимвольного кодирования ̶ азбука Морзе, где буквы алфавита представлены определенными сочетаниями точек и тире.

После Лейбница исследования в этой области вели многие выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому математику-самоучке Джорджу Булю (1815-1864), целеустремленность которого не знала границ. Материальное положение родителей Джорджа (отец которого был сапожным мастером) позволило ему окончить лишь начальную школу для бедняков. Спустя какое-то время Буль, сменив несколько профессий, открыл маленькую школу, где сам преподавал. Он много времени уделял самообразованию и вскоре увлекся идеями символической логики. В 1847 году Буль опубликовал статью «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений»⁵, а в 1854 году появился главный его труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей»⁶.

Буль изобрел своеобразную алгебру ̶ систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам от чисел и букв до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание/дополнение (НЕ).

Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным. Примером того, как это работает, может послужить задача из учебника Э. Мендельсона «Введение в математическую логику» (1976)⁷. А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов ̶ алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С. Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947).

В XX веке огромную роль в развитии математической логики сыграл Д. Гильберт (1862-1943), предложивший программу формализации математики, связанную с разработкой оснований самой математики⁸.

1.2 Предмет познания философской логики

Люди познают мир не только в силу врожденной любознательности. В основе познания мира лежит необходимость его практического изменения. Ещё известный немецкий философ К. Маркс сказал: «Философы лишь различным образом объясняли мир, но дело заключается в том, чтобы изменить его»⁹.  Представители материалистического философского направления, которое исходит из того, что материя первична, а сознание ̶ свойство высокоорганизованной материи (человеческого мозга) ̶ вторично, считают, что мир и его закономерности познаваемы.

Научной теорией познания является теория отражения. Суть ее сводится к следующему. Вне нашего сознания существуют материальные вещи. В мозге человека под воздействием этих вещей возникают образы, или «снимки», «слепки», «фотографии», «копии» предметов. Образы не могут существовать без реальных предметов (например, если нет самолета, то нет и его образа), но вещи существуют объективно, независимо от их образов (так, например, растения в джунглях или птицы существуют, даже если их никто не видел, т. е. если не существует их образов в сознании человека). Образы вещей соответствуют вещам, отображением которых они являются (например, образ слона в нашем сознании и сам настоящий слон похожи). Поэтому образы имеют познавательное значение. Образ идеален, ибо он не может существовать вне сознания человека. Но образ и вещь полностью не совпадают. Что богаче? Вещь. Вот поэтому мы по два раза можем смотреть кинофильм и замечать в нём новое, можем многократно смотреть одну и ту же картину художника и находить в ней что-то не замеченное раньше. Так как образ беднее самой вещи, то мы не можем охватить всех деталей этой вещи. Вещь и ее свойства раскрываются нами в процессе познания.

1. Предмет изучения математической логики

Простейшие закономерности выводов открывались человечеством эмпирическим путем в ходе общественного производства (например, простейшие соотношения арифметики и геометрии). Открытие более сложных законов связано с результатами науки формальной логики. Первое крупное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю. В формальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях) математические методы, но развитие логики не успевало за применением таких методов по сравнению с другими областями математики. Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики); отставание оказалось особенно очевидным в новую эру.

Главными недостатками формальной логики являлись следующие:

1. Она не сумела привести законы выводов к небольшому количеству надежных логических законов; поэтому подтвердила правильность некоторых выводов на основе экспериментов, которые позже были опровергнуты примерами, доказывающими обратное.

2. Она была неспособна анализировать значительную часть выводов, применяемых в повседневной и научной жизни; доказать правильность или неправильность таких выводов. (Например, не могла доказать, что из правильности предложения «Каждая трапеция является четырехугольником» вытекает правильность предложения «Кто рисует трапецию, тот рисует четырехугольник»).

Задача математизации формальной логики была поставлена и осуществлена Лейбницем. Его работу продолжили математики XIX века. На рубеже столетия с открытием противоречий в теории множеств развитие математической логики получило широкий размах. В настоящее время результаты математической логики используются во всех традиционных областях формальной логики, открыты совершенно новые области. В настоящее время «традиционная» формальная логика по сравнению с математической логикой имеет значение только для истории науки. Математическая логика не претендует на открытие законов мышления вообще, или еще в меньшей степени на анализ философских проблем, связанных с человеческим мышлением. Эти вопросы больше относятся к «логике» (в более общем смысле слова) и к философии. 

В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношений между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее без доказательства принимаются основные положения рассматриваемой теории ̶ аксиомы. Всё дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. 

Основная идея математической логики ̶ формализация знаний и рассуждений. Известно, что наиболее легко формализуемые знания ̶ математические. Таким образом, математическая логика, по существу, ̶ наука о математике. Центральным понятием математической логики является «математическое доказательство». Действительно, «доказательные» (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения ̶ единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. В сущности, рассуждения моделируются чисто «механическим» процессом переписывания текста (формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями. Однако обычно всё же важно, как соотносятся рассуждения с действительностью (или нашими представлениями). Поэтому надо всё же иметь в виду некоторый смысл формул и вывода. Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы.

Глава 2. Исследования различия между математической логикой и философской

2.1 Философская точка зрения логики и математики

С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно покажем в последней главе, предметом изучения современной математики являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той особенностью, что в рамках математического исследования они могут рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов, которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур являются количественные отношения и пространственные формы, которые изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами, числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода, как это делается в математической логике.

При рассмотрении вопроса о соотношении логики и математики нередко возникают недоразумения в силу неоднозначности употребления самого термина «логика».

Во-первых, можно говорить о логике как нормативной науке, изучающей формы, законы и приёмы интеллектуальной познавательной деятельности и правильного мышления. В этом смысле логика понимается как исследование структур и форм мысли и поэтому справедливо называется формальной логикой.

Во-вторых, в рамках самой формальной логики можно выделить такую важную и доминирующую ее отрасль, как теория дедуктивного вывода, и соответственно говорить о дедуктивной логике.

В-третьих, нередко под логикой понимают применение математических методов для построения формальной теории дедуктивного вывода. Для этого обычно строятся различные формально-логические системы, или языки, с помощью которых оказывается возможным точно выразить логические взаимосвязи между высказываниями в процессе вывода. Поскольку при этом высказывания рассматриваются как некоторые дискретные объекты, то в принципе вполне допустимо интерпретировать отображающие их формальные системы с помощью объектов нелогической природы. Хорошо известно, например, что исчисление высказываний интерпретируется с помощью релейно-контактных схем и других технических устройств. Этот пример показывает, что в данном случае речь действительно идет о применении некоторых общих формальных методов к логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасль исследований получила название математической логики.

В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем, которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и тесно связанных с ней проблем. К ним относятся проблемы определения терминов и понятий, семантической теории значений и т. п.. В этом смысле часто говорят, к примеру, о многозначной, модальной, вероятностной, временной и других логиках. Подобного рода не-классические логики анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием философской логики.

Можно сделать вывод о том, какой большой вклад внесла математика в философию. Мыслители не просто оперировали с числами, они пытались дать объяснение всей структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Они уделяли много внимания числовой символике. Многие философы ассоциировали числа с различными понятиями мира. Поэтому благодаря пониманию числовых отношений приходили к разгадке мироздания.

2.2 Отличительные особенности действий математической логики и философской логики

Математика предстала своей обращенностью к количественным показателям физического содержания, отношениям, зависимостям, отличившись от арифметики использованием буквенных обозначений постоянных (а, b) и переменных (х, у) величин в дополнение к знакам действий (+ , -, х, :). В этой науке-дисциплине присутствует завидное число выводимых, доказательных операций, использование формул. Наличные числовые значения позволяют находить нужные неизвестные, смотря по зависимостям. Но еще нужно догадаться, какие формулы и в какой последовательности следует употребить. Занятия математиков предстали как гласное, а то и негласное использование правил «формальной логики» ̶ «Логики научной».  С одной стороны, это конкретизация сравнительно общих положений такой «логики», но также и какие-то ценные добавления. Использование символов обогатилось, что во многом осталось неведомым ставшей традиционной «Науке логики».

Однако считать, что «математическая логика» ̶ конкурент «логики научной», её выгодная замена, является самообольщением. «Наука логика» методологически и процессуально обслуживает все дисциплины, в том числе и философию. Таких возможностей у математической логики нет. Не в состоянии все науки видеть в своих объектах только количество, делая вид, что качества нет, или его учет не важен. При помощи одной математики трудно представлять вызов количественными изменениями перехода к другому качеству.

Модальная версия математической логики бесценна для информатики, теории искусственного интеллекта, математической лингвистики. Она находит применение даже в социологии. Кроме того, существует также вероятностная логика.

Действия же философской логики обращены только к рассудку, где происходят действия с понятиями и суждениями вплоть до умозаключений. Философия считается с тем, что у реакций органов чувств на внешние раздражители есть границы. Это приводит человека к интуиции.

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что философская логика явно отличается от математической логики. Вот как об этом пишут А. Н. Колмогоров и А. Г. Драгалин в своём учебнике «Математическая логика»: «Математическая логика с внешней стороны отличается от «обычной» тем, что она широко пользуется языком математических и логических знаков, исходя из того, что в принципе они могут заменить слова обычного языка и принятые в обычных живых языках способы объединения слов в предложения»¹⁰.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, при изучении предпосылок возникновения философской логики и истории возникновения математической логики сделали выводы, что Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической логики ̶ теории доказательств и умозаключений.

Логическое мышление применяется практически в каждой области человеческой деятельности (гуманитарные науки, экономика, риторика, творческая деятельность и т.п.). К примеру, в математических науках или философии применяют строгую и формализованную логику. В других же сферах логика служит источником полезных знаний необходимых для получения обоснованного вывода всей ситуации в целом.

Философская логика выражается во внешних и внутренних показаниях человеческого сознания или объектов-явлений и умственных действий человека. Тогда как математическая логика ̶ одно из конкретных, частных случаев использования науки логики, и в это время математическая логика обогащает философскую.

Для достижения поставленной цели работы были выполнены следующие задачи:

1. Изучены предпосылки возникновения философской логики и история возникновения математической логики.

2. Рассмотрены предметы познания философской логики и предмет изучения математической логики.

3. Обосновано, что философская логика является источником познания, развития от абстрактного к конкретному, а также условием изучения математической логики и познания окружающего мира.

4. Изучины литературные источники по данной теме.

Таким образом, цель работы ̶ постановка соответствий и основных различий между математической логикой и философской ̶ достигнута. Выдвинутая гипотеза о том, что источником полезных знаний служит философская логика и математическая логика, при использовании которых происходит обогащение и взаимосвязь философской логики и математическая логики, подтверждена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аристотель, Сочинения в четырёх томах. Том 2 (1978)

2. Бочаров В. А., Маркин В. И., «Введение в логику: учебник» (2008)

3. Дж. Буль, «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений» (1847)

4. Дж. Буль, «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854)

5. В. Л. Васюков, «Междисциплинарность: логический анализ» (2014)

6. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г., «Математическая логика», стр. 11 (2006)

7. Конверский А. Е., «Логика традиционная и современная: учебное пособие» (2016)

8. Маркс К., «Тезисы о Фейербахе» (1845)

9. Э. Мендельсон, «Введение в математическую логику» (1976)

1^ Бочаров В. А., Маркин В. И. Введение в логику: учебник (2008), стр. 13

2^ В. Л. Васюков, «Междисциплинарность: логический анализ» (2014)

3^ Аристотель. Сочинения в четырёх томах. Том 2 (1978)

4^Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г., «Математическая логика», стр. 11 (2006)

5^ Дж. Буль, «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений» (1847)

6^ Дж. Буль, «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854)

7^ Э. Мендельсон, «Введение в математическую логику», стр. 29, задача №10 (1976)

8^Конверский А. Е., «Логика традиционная и современная: учебное пособие» (2016)

9^ Маркс К., «Тезисы о Фейербахе» (1845)

10^ Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г., «Математическая логика», стр. 11 (2006)