Построение и сечение объемных фигур в GeoGebra

ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева»

физико-математический факультет

направление подготовки 050100.65 «Педагогическое образование»

профиль «Информатика. Математика»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и ВТ

РЕФЕРАТ

«Построение объемных фигур и сечений в Geogebra3D»

Выполнил: студент 5 курса

группы МДИ – 112 : Журавлев Е.

Проверила: Кормилицына Т.В.

Саранск

2016

GeoGebra 3D – это свободная образовательная математическая программа, соединяющая в себе геометрию, алгебру и математические исчисления. GeoGebra 3D – свободно-распространяемая (GPL) динамическая геометрическая среда, которая даёт возможность создавать «живые чертежи» в планиметрии,стереометрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями). Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (соответственно работает медленно,

но на большинстве операционных систем). Переведена на 39 языков.

Полностью поддерживает русский язык.

Программная среда GeoGebra3D может быть быстро освоена людьми, имеющими элементарные навыки работы на компьютере, что, несомненно, является большим преимуществом данного программного продукта. К еще одному аргументу в пользу GeoGebra3D можно отнести её простую4 интеграцию с офисными приложениями – все чертежи легко могут через буфер обмена быть перенесены для дальнейшего использования как в текстовые редакторы, поддерживающие работу с изображениями, так и в графические редакторы.

Актуальность работы продиктована отсутствием русскоязычного раздела справки; данная квалификационная работа может претендовать на роль справочника по многим функциональным возможностям GeoGebra3D на русском языке.

Интерфейс программы.

При запуске окно программы имеет вид, приведенный на рисунке 1.

Помимо привычной для большинства программ строки меню, в окне программы расположены Панель инструментов (1), Панель объектов (2), Область геометрических построений (3) и Строка ввода (4).Для открытия полотна 3D нужно перейти в строке меню вкладку вид (Рисунок 2).

Положение свободных объектов можно изменять произвольно, тогда, как положение зависимых объектов изменяется только в соответствии с

изменениями свободных.

Строка ввода состоит из двух частей: непосредственно сама Строка

ввода, а также Список команд – выпадающее меню, в котором можно

выбрать команду для ввода из списка. Отображение Списка команд можно

отключить в меню Вид.

Отображение Панели объектов, Строки ввода можно отключить в меню Вид. В этом же меню можно включить отображение другого элемента окна программы – Таблицы. Также в меню Вид можно включить отображение на Панели объектов еще одного типа объектов – вспомогательных.

При запуске GeoGebra в области геометрических построений прорисовываются координатные оси. Также при желании можно при помощи

команды Вид – Сетка задать прорисовывание координатной сетки. Для

более подробной настройки рабочей области можно выполнить команду

Настройки – Полотно.

Здесь на вкладках Оси и Сетка можно задать цвет объектов, способы

начертания. Для осей можно указать их обозначение, указание единиц

измерения и т.д.

На Панели инструментов расположены различные инструменты для

геометрических построений, разбитые на группы, о чем свидетельствует

маленький треугольник в правом нижнем углу каждой кнопки на панели.

При нажатии на него раскрывается выпадающее меню, из которого можно

выбрать нужный инструмент. При построении различных геометрических

объектов информация о них автоматически вносится в список на Панели

объектов, а сами объекты отображаются в Области геометрических построений.

Все объекты разделяются на свободные и зависимые. К свободным относятся все независимые объекты, то есть построенные произвольно в области построений. Зависимые объекты строятся, опираясь на уже имеющиеся свободные или зависимые объекты.

Для построения различных объектов используется Панель

инструментов, инструменты на которой разбиты на группы. Рассмотрим

последовательно имеющиеся в распоряжении пользователя инструменты.

При помощи инструмента Перемещать можно выбирать объекты

(группы объектов) и изменять их положение на координатной плоскости. Для

того чтобы выделить сразу несколько объектов, нужно не отпуская клавиши

Ctrl последовательно указать на них мышью.

Для построения точки нужно выбрать инструмент Точка (рис.6) и указать место на плоскости. Точка по умолчанию обозначается заглавной буквой латинского алфавита и на плоскости задается парой координат. При наведении курсора мыши на область построений он принимает вид крестика, около которого отображаются текущие координаты. Точка по умолчанию имеет синий цвет.

Для построения точки на каком либо объекте используется функция Точка на объекте. Выбирая этот элемент нужно помнить что точку можно поставить только на объекте, она не сможет покинуть границы объекты. Перемещать точку внутри объекта возможно. Такая точка окрашивается в синий цвет. Для построения точек, являющихся пересечением двух объектов, можно использовать инструмент Пересечение двух объектов. Выбрав этот инструмент, нужно указать два объекта, точки пересечения которых нужно построить. Такие точки будут окрашены в серый цвет и будут являться зависимыми объектами. Для построения середины отрезка нужно выбрать инструмент Середина или центр и указать либо две точки – концы отрезка, либо отрезок, середину которого требуется построить. При помощи того же инструмента можно построить центр геометрической фигуры, например эллипса. Для того чтобы прикрепить или снять прикрепленную точку имеется функция Прикрепить / Снять точку. Функция Комплексное число позволяет вставлять точку на выбранную плоскость. Точка окрашивается в синий цвет. Инструменты Прямая по двум точкам, Отрезок по двум точкам, Луч по двум точкам, Вектор по двум точкам строят прямую, отрезок, луч и вектор соответственно по указанию на две точки, через которые проходит нужная линия. Можно выбирать точки, которые уже имеются на чертеже, либо указывать мышью, где будут располагаться эти точки.

Для построения прямой, перпендикулярной данной, нужно выбрать

инструмент Перпендикулярная прямая , указать прямую на плоскости, перпендикулярная к которой будет построена, а также точку, через которую будет проходить новая прямая. Аналогичным образом строится прямая, параллельная данной, при помощи инструмента Параллельная прямая.

Для построения произвольного многоугольника используется инструмент Многоугольник. Для построения фигуры с его помощью необходимо последовательно указать все вершины многоугольника, а затем указать на вершину, с которой начиналось построение.

Построение объемных фигур

1. Построение призмы.

Задача. Построить призму ABCDEA1B1C1D1E1.

Решение: Выбираем функцию Призма и отмечаем 5 точек на координатной оси

Нажимая по оси z на нужную нам высоту, получим призму ABCDEA1B1C1D1E1.

2. Построение пирамиды

Задача. Построить пирамиду SABCDE.

Решение:

Выбираем функцию Пирамида и отмечаем 5 точек на координатной оси.

Нажимая по оси z на нужную нам высоту и после переименования точки на

3. Построение прямоугольного параллелепипеда

Задача. Построить прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Решение:

При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOY и одну точку на

плоскость XYZ .

После выполнения выше указанных шагом выбираем опцию Призма

соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку А и получаем

прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

4. Построение цилиндра

Задача. Построить цилиндр с радиусом 2.

Решение:

Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на

оси z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.

Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом.

5. Построение конуса

Задача. Построить конус с радиусом 3.

Решение:

Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси

Z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.

Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом.

6. Построение шара

Задача. Построить шар с радиусом 3.

Решение:

Шар можно построить с помощью двух опций. Первая из них называется

Сфера по центру и точке. При этом нужно выбрать точку центра и другую

точка которой будет являться крайней точкой сфера. Вторая функция Сфера

по центру и радиусу. В этом случае нужно выбрать точку центра и

выскакивает окно с запросом ввести радиус.

После ввода значения радиуса строиться сфера.

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

1. Построение сечения пирамиды

Задача 1

На ребрах AB,BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E (рис.2), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MN PQ – искомое сечение.

Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.

Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC , то она параллельна прямым, AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB Затем через точку P проведем прямую, параллельную отрезку AC , и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR – искомое сечение.

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда

Задача

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить

сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Решение

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A,B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. Если точки A, B и C , то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено. Более трудный случай, когда данные точки A,B В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB.

Список использованных источников

1. Иванчук Н.В., Эйкен О.В., Мартынова Е.В., Самылова Ю.В., Данько О.Е. Использование компьютерной программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: Методическое пособие. – Мурманск: МГПУ, 2008. – 36 с.

2. Геометрия 10-11 кл. учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание. Москва "просвещение" 2010. под руководством А Н Тихонова. Авторы - Л С Атанасян, В Ф Бутузов и др.

3. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 9-е изд. – М.:Просвещение, 1999

4. http://www.geogebra.org/cms/

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

6. http://www.slideshare.net/marinmets/geogebra-1962501

7. http://matematika88888.blogspot.com/2009/07/geogebra.html

8.http://shperk.ru/friends/2009/09/rukovodstvo-dlya-nachinayushhix izuchatprogrammu-geogebra/

9. http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=16&t=670

10.http://marinmets.blogspot.com/2010/02/geogebra.html

17