
Подготовка к ЕГЭ по Физике. Решение задач по теме: электромагнитная индукция
З.М.Кенжаев

Основные формулы
Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S :
а) в случае однородного поля
Ф = BS cos = B n S , где - угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором магнитной индукции; B n – проекция вектора В на нормаль n ( B n = B cos );
Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток
= NФ , где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков.
Работа по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле определяется соотношением
A = I Ф ,
где Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром.
Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла)

где i – ЭДС индукции, возникающая в контуре; dФ / dt – скорость изменения магнитного потока, N – число витков контура; - потокосцепление ( = NФ ).
Разность потенциалов U на концах проводника длиной l , движущегося со скоростью υ в однородном магнитном поле с индукцией В , выражается формулой
U = Blυ sin , где - угол между направлениями векторов v и B .
Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении на величину потокосцепления, пронизывающего все витки контура, выражается формулой
q = / R ,
где R – сопротивление контура.
Индуктивность контура
L = / I .
ЭДС самоиндукции
где - скорость изменения силы тока.

Индуктивность соленоида
L = 0 n 2 l S , где l – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения; n – число витков на единицу его длины.
ЭДС взаимной индукции
где - коэффициент взаимной индукции.
Магнитная энергия W контура с током I
W = LI 2 /2, где L – индуктивность контура.
Объемная плотность энергии w 0 однородного магнитного поля
w 0 = BH/2 = 0 H 2 /2 = B 2 /(2 0 ).

Примеры решения задач
Пример 1. Магнитный момент соленоида 2 А∙м 2 . Найти поток магнитной индукции сквозь соленоид. Длина соленоида равна 30 см.
Дано:
p m = 2 А ×м 2 ; m = 1 ;
l = 30 см = 0,3 м
Ф = ?
Решение
Магнитный момент соленоида складывается из магнитных моментов каждого витка p i = I S, где I - сила тока в обмотке, S - площадь поперечного сечения соленоида:
p m = N I S (1)
Из определения потока Ф вектора магнитной индукции В
Ф =B S = m 0 mI S N. (2)
Используя (1) и (2), получаем:
Ф = m 0 p m / l =4p 10 -7 ×2/0,3 = 8,37×10 -6 Вб.
Ответ: Ф = 8,37 мВб.

Пример 2. Сила тока в соленоиде изменяется по закону I = 20 t – t 3 . Индуктивность соленоида 5 Гн. Какая ЭДС самоиндукции будет в соленоиде через 2 с?
Дано:
I = 20 t – t 3 ;
t = 2 c; L = 5 Гн
e инд = ?
Решение
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея
e инд = - dФ/dt
Из определения индуктивности магнитного контура Ф = L I, где I– сила тока в контуре, а L – его индуктивность. Тогда
e инд = - L dI/dt = L (20 – 3 t 2 ) = 5(20 - 3∙2 2 ) = 40 B.
Ответ: e инд = 40 В.

Пример 3. Скат плывет горизонтально со скоростью 2 м/с. Определить разность потенциалов, возникающую между концами боковых плавников рыбы, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 5 10 –5 Тл. Ширина рыбы 30 см.
Дано:
v = 2 м/с;
l = 30 см = 0,3 м;
B ^ = 5 ×10 -5 Тл
U = ?
Решение
При движении ската пересекаются силовые линии магнитного поля Земли; при этом за время dt рыба проходит путь dx и происходит изменение магнитного потока
d Ф = B ^ d S = B ^ l dx = B ^ l v dt
На концах боковых плавников возникает разность потенциалов согласно закону электромагнитной индукции:
U = |e инд | = dФ/dt = B ^ l v = 5 ×10 -5 ×0,3 ×2 = 30 мкВ.
Ответ: U = 30 мкВ .

Пример 4. При индукции магнитного поля 0,1 Тл плотность энергии магнитного поля в железе 10 Дж/м 3 . Какова относительная магнитная проницаемость железа при этих условиях и величина напряженности магнитного поля?
Дано:
B = 0,1 Тл;
w = 10 Дж/м 3 ;
m 0 =4 p 10 -7 Гн /м
m = ? H = ?
Решение
Плотность энергии магнитного поля в магнетике
w = BH/2 = B 2 /(2 0 )
Отсюда находим
H = 2w/B;
m = B 2 /(2m 0 w)
Подставив численные данные, получим
Ответ: m = 398 @ 400; H =200 А/м .

Пример 5. Для магнитной обработки виноматериалов и питьевой воды используют установку на электромагнитах (рис.19), потребляющих мощность 2,4 кВт. Индукция магнитного поля в рабочем зазоре 15,1× 10 -2 Тл. Определить КПД установки, если ее производительность 100 м 3 / час.
Дано:
N потр = 2,4 ×10 3 Вт;
B = 15,1× 10 -2 Тл;
m = 1 ;
Q = 200 м 3 /час =1/18 м 3 /с
h = ?
Решение
По определению коэффициента полезного действия
h = А полезн /А затр (1)
Затраченная работа равна потребляемой из сети энергии
А затр = N потр Dt, (2)
где Dt – отрезок времени.
Полезная работа состоит в намагничивании протекающей жидкости в объеме
V = Q Dt.
Эта работа равна энергии магнитного поля, создаваемого в зазоре:
А полезн = W м = w V = B 2 V/(2 0 ) = B 2 Q Dt /2 0 . (3)
Подставив (3) и (2) в (1), получаем КПД:
h = B 2 Q /(2 0 N потр ) = 1,5 2 /(18 ×2 ×12,56 ×10 -7 × 2,4 ×10 3 ) = 0,104.
Ответ: КПД составляет 10,4 % .