Последняя цифра степени.
Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n, где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:
21 = 2 25 = 32 29 = 512 | 22 = 4 26 = 64 210 = 1024 | 23 = 8 27 = 128 211 = 2048 | 24 = 16 28 = 256 212 = 4096 |
Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n.
В самом деле, возьмем число 2100. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24, 28, 212, показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.
Возьмем к примеру, 222, если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.
Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.
А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:
Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.
Две последних цифры степени.
Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.
Степень | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 |
Х2 | 04 | 09 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 00 |
Х3 | 08 | 27 | 64 | 25 | 16 | 43 | 12 | 29 | 00 |
Х4 | 16 | 81 | 56 | 25 | 96 | 01 | 96 | 61 |
|
Х5 | 32 | 43 | 24 |
| 76 | 07 | 68 | 49 |
|
Х6 | 64 | 29 | 96 |
| 56 |
| 44 | 41 |
|
Х7 | 28 | 87 | 84 |
| 36 |
| 52 | 69 |
|
Х8 | 56 | 61 | 36 |
|
|
| 16 | 21 |
|
Х9 | 12 | 83 | 44 |
|
|
| 28 | 89 |
|
Х10 | 24 | 49 | 76 |
|
|
| 24 | 01 |
|
Х11 | 48 | 47 | 04 |
|
|
| 92 | 09 |
|
Х12 | 96 | 41 |
|
|
|
| 36 |
|
|
Х13 | 92 | 23 |
|
|
|
| 88 |
|
|
Х14 | 84 | 69 |
|
|
|
| 04 |
|
|
Х15 | 68 | 07 |
|
|
|
| 32 |
|
|
Х16 | 36 | 21 |
|
|
|
| 56 |
|
|
Х17 | 72 | 63 |
|
|
|
| 48 |
|
|
Х18 | 44 | 89 |
|
|
|
| 84 |
|
|
Х20 | 88 | 67 |
|
|
|
| 72 |
|
|
Х21 | 76 | 01 |
|
|
|
| 76 |
|
|
Х22 | 52 | 03 |
|
|
|
| 08 |
|
|
Х23 | 04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Повтор | 20 | 20 | 10 | 1 | 5 | 4 | 20 | 10 | 1 |
(Красным кругом выделен период)
Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.
К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.
Степень | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Х2 | 21 | 44 | 69 | 96 | 25 | 56 | 89 | 24 | 61 | 00 |
Х3 | 31 | 28 | 97 | 44 | 75 | 96 | 13 | 32 | 59 | 00 |
Х4 | 41 | 36 | 61 | 16 | 25 | 36 | 21 | 76 | 21 |
|
Х5 | 51 | 32 | 93 | 24 |
| 76 | 57 | 68 | 99 |
|
Х6 | 61 | 84 | 09 | 36 |
| 16 | 69 | 24 | 81 |
|
Х7 | 71 | 08 | 17 | 04 |
|
| 73 |
| 39 |
|
Х8 | 81 | 96 | 21 | 56 |
|
| 41 |
| 41 |
|
Х9 | 91 | 52 | 73 | 84 |
|
| 97 |
| 79 |
|
Х10 | 01 | 24 | 49 | 76 |
|
| 49 |
| 01 |
|
Х11 | 11 | 88 | 37 | 64 |
|
| 33 |
| 19 |
|
Х12 |
| 56 | 81 | 96 |
|
| 61 |
|
|
|
Х13 |
| 72 | 53 |
|
|
| 37 |
|
|
|
Х14 |
| 64 | 89 |
|
|
| 29 |
|
|
|
Х15 |
| 68 | 57 |
|
|
| 93 |
|
|
|
Х16 |
| 16 | 41 |
|
|
| 81 |
|
|
|
Х17 |
| 92 | 33 |
|
|
| 77 |
|
|
|
Х18 |
| 04 | 29 |
|
|
| 09 |
|
|
|
Х20 |
| 48 | 77 |
|
|
| 53 |
|
|
|
Х21 |
| 76 | 01 |
|
|
| 01 |
|
|
|
Х22 |
| 12 | 13 |
|
|
| 17 |
|
|
|
Х23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повтор | 10 | 20 | 20 | 10 | 2 | 5 | 20 | 4 | 10 | 1 |