Метод рационализации для решения неравенств

Готовимся к ЕГЭ-16

Метод рационализации для решения неравенств

учитель математики

Беляева Ольга Петровна

Метод рационализации : - метод декомпозиции (Моденов В.П.) - метод замены множителей (Голубев В.И.) - обобщение метода интервалов

заключается в замене сложного выражения F(х) на более простое выражение G(x) (в конечном счете рациональное), при которой неравенство G(x)˅0 равносильно неравенству F(х)˅0 на области определения выражения F(х)

Символ « ˅» означает знак неравенства :, ≤, ≥

• Расширяет возможности применения метода интервалов
• Упрощает расчеты при определении знака выражения на промежутке
• Экономит время решения неравенства

Теоретическая основа :

• два неравенства А и В равносильны, если множества их решений совпадают
• Если f(x) монотонно возрастающая функция, то разность f(a)-f(b) совпадает по знаку с разностью a-b
• Если f(x) монотонно убывающая функция, то разность f(a)-f(b) совпадает по знаку с разностью b-a

Пример: f(x), g(x) возрастающие

функции

Второе неравенство является следствием первого. Необходимо учесть область определения функций

Идея метода:

• Данное неравенство преобразовать к виду

,где ч исла или

выражения с переменной

• Заменить все выражения на линейные (любой из множителей можно заменять на совпадающий с ним по знаку)
• Применить метод интервалов

Пример замены множителей:

Таблица замены множителей ( a,f,g,h – выражения, удовлетворяющие ОДЗ)

Пример 1 (Ященко И.В. Математика. ЕГЭ, типовые варианты, 2014г)

Пример 2 (Лысенко ФФ, Кулабухов СЮ. Математика. ЕГЭ-13)

Пример 3 (Ларин АА, материалы 2015, тренировочные варианты )

Пример 4 ( МГУ, ДВИ, 2011 )

1. ОДЗ:

5

Решение.

2. Замена на линейные множители

x

Определяем рациональное выражение, имеющее знак знаменателя на ОДЗ :

-7

Определяем рациональное выражение, имеющее знак числителя на ОДЗ :

-6

1

-1

3. Решаем уравнение:

Входят в ОДЗ.

4. На ОДЗ создаём интервалы, проставляем

знаки, выбираем ответ:

_

+

Первый знак:

Смена знака:

Выбор ответа:

+

_

_

+

x

-2

-1

-5

1

-7

-6

Ответ:

Пример 6 (СТАТГРАД, январь 2016г)

1. ОДЗ:

7

Решение.

2. Разложение на множители :

x

t

Замена:

4

0

t

t

t

t

Определяем рациональное выражение, имеющее знак дроби на ОДЗ :

3. Решаем уравнение:

Входят в ОДЗ.

4. На ОДЗ создаём интервалы, проставляем

знаки, выбираем ответ:

+

+

Первый знак:

Смена знака:

Выбор ответа:

ОДЗ

+

_

_

+

+

x

20

1

0

4

16

Ответ:

Демонстрационный вариант ЕГЭ-16 №15

Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Учебное пособие/А.В.Семенов, И.В.Ященко – Москва: Интеллект-центр. 2015.

Ответ:

Ответ:

Литература, интернет-ресурсы:

• Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Учебное пособие/А.В.Семенов, И.В.Ященко – Москва: Интеллект-центр. 2015.
• Математика. Подготовка к ЕГЭ 2016. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016г: учебно-методическое пособие/ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. -Ростов-на-Дону: Легион, 2015.
• Корянов А.Г., Прокофьев А.А .

Методы решения неравенств с одной переменной

http://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.html

• http://legion.ru
• http://alexlarin.net