Метод введения новой переменной (метод замены переменной) (методический материал)

Этот метод, метод замены переменного, вообще говоря, применяется не только к решению систем уравнений, но и для решения уравнений вообще.

Суть метода заключается в том, чтобы одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.

Пример 6:

Дано уравнение:

(Х+2) ²+2(х+2) =3

Требуется решить уравнение, введя новую переменную.

Решение:

В этом уравнении переменная х присутствует только в выражении вида (x+2) и нигде больше.

Введем новую переменную (сделаем замену): (x+2) =t

Уравнение примет вид:

t²+2t=3

Замечание: требуется сделать замену так, чтобы старой переменной х не осталось. Только t.

Весь материал - в документе.

Метод введения нового переменного (метод замены переменной).

Этот метод, метод замены переменного, вообще говоря, применяется не только к решению систем уравнений, но и для решения уравнений вообще.
Суть метода заключается в том, чтобы одинаковые составляющие части уравнения, содержащие переменные заменить на новую переменную.
Пример 6:
Дано уравнение:

Требуется решить уравнение, введя новую переменную.
Решение:
В этом уравнении переменная х присутствует только в выражении вида и нигде больше. Введем новую переменную (сделаем замену):

Уравнение примет вид:

Замечание: требуется сделать замену так, чтобы старой переменной х не осталось. Только t.
Решим это обыкновенное квадратное уравнение:

Теперь не следует забывать, что найти значения переменной х, а найдены пока значения переменной t.
Сделаем обратную замену (вернемся к переменной х):
1) пусть

2) пусть

Всё, поставленная задача выполнена.
Ответ: .

Попробуем теперь решить систему этим методом.

Пример 6:
Решить систему уравнений:

Решение:
Проведем преобразование уравнений, такое, чтобы сделать замену.

Замечание: Старых переменных 2 шт., значит и новых должно быть 2 шт.
В этой системе видно, что старые переменные сгруппированы таким образом, что располагаются только в выражениях вида и . Введем новые переменные (сделаем замену переменных).

Система примет вид:

Она достаточно проста, решим полученную систему методом подстановки:

Так, значения новых переменных найдены, вернемся к старым:

Тогда:

Ответ: