Материал по математике "Решетки нормальных подгрупп правильного треугольника и квадрата"

Аннотация.

Известно, что нормальные подгруппы любой группы образует модулярную решетку. В связи с этим в данной заметке построены решетки нормальных подгрупп группы симметрии треугольника и квадрата.

Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция  такая, что выполняются следующие условия:

1) ассоциативность: (ab)c=a(bc) для любых элементов a, b, c из G;

2) в G существует такой элемент e, что ea=ae=a для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G;

3) для любого элемента a из G существует такой элемент a^-1 из G, что a*a^-1=a^-1*a=e, такой a^-1 элемент называется обратным к элементу a.

Алгебра (L; ⋀, ⋁) называется решеткой, если L непустое множество, а ⋀ и ⋁- бинарные операции на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглащения.

Связь между группой и решеткой непосредственно видна из следующей теоремы.

Теорема 1[1,2].  Нормальные подгруппы любой группы G образуют модулярную решетку.

Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Другими словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого g из G элемент g*a*g^-1 содержится в N.

1. Решетка нормальных подгрупп правильного треугольника

Пусть А, В, С – вершины равностороннего треугольника АВС (рис. 1 а). Повернем треугольник вокруг его центра О на 120⁰ в направлении, указанном стрелкой. Тогда вершина А перейдет в вершину В, В в С, С в А. Таким образом, треугольник совместится со своим первоначальным положением (если не учитывать названия вершин), то есть поворот на 120⁰ вокруг точки О является преобразованием, переводящим данный треугольник в себя. Обозначим это преобразование через а.

Его можно записать в виде a=(A B C, BCA) где в верхней строчке перечислены все вершины треугольника, а нижняя строчка показывает, куда каждая из них переходит. А поворот на 240⁰,обозначим это преобразование через b, тогда b=(A B C,CAB). Имеется еще одно преобразование, переводящее треугольник в себя, отличное от a и b- это поворот на 0⁰. Обозначим это преобразование через е, тогда e=(A bB C, A B C)

Можно составить таблицу умножения, где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторому вращению, переводящему треугольник АВС в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию g₁, и столбца, соответствующего преобразованию g₂, мы будем ставить преобразование, равное  g₁*g₂. Так, например, в выделенную клетку таблицы 1 мы должны поставить преобразование a*b, которое получится, если сначала повернуть треугольник на 240⁰, а затем еще на 120⁰.

Следовательно,  a*b – поворот на 360⁰, то есть совпадает с е. Тот же результат мы получим, если будем рассуждать следующим образом: преобразование b переводит вершину А в С, а преобразование а переводит вершину С в А. Таким образом, преобразование  переводит вершину А в А. Точно так же можно получить, что вершина В переходит в В, а С переходит в С. Отсюда, a*b=(A B C? A B C), то есть a*b=e.

Любое преобразование некоторой фигуры в себя, сохраняющее расстояние между всеми ее точками, называется симметрией данной фигуры. Так, рассмотренные выше, вращения равностороннего треугольника являются его симметриями.

Кроме вращений, у равностороннего треугльника имеется еще три симметрии, а именно, отражение относительно осей l₁, l₂ и l₃ (рис 1 б). Эти преобразования мы обозначим соответственно c, d, f так, что c=(A b C, A C B ), d=(A B C, C B A), f=(A B C, B, A C) .

Здесь можно по-разному понимать композицию двух преобразований. Рассмотрим, например, композицию преобразования c*d. Можно считать, что при выполнении преобразования d ось l_1­ переходит в новое положение (а именно, в положение старой оси l₃), и после этого преобразование с рассматривать как отражение относительно нового положения оси l₁ (то есть относительно старой оси l₃). С другой стороны, можно считать, что они не связаны жестко с фигурой и не преобразуются вместе с ней и, следовательно, в рассматриваемом примере после выполнения преобразования  преобразование с должно выполняться как отражение относительно старой оси l₁. Именно так мы и будем рассматривать в дальнейшем композицию преобразований.

При таком подходе оказывается справедливыми рассуждения о вершинах фигуры, такие рассуждения удобно использовать для вычисления композиций преобразований.

Пусть некоторое множество преобразований G обладает следующими свойствами:

1) если преобразование g₁ и g₂ содержатся в G, то и их произведение g₃=g₁g₂ содержатся в G;

2) если преобразование g содержатся в G, то и обратное ему преобразование g^-1 содержатся в G. 

Тогда такое множество преобразований G будем называть группой преобразований.

Нетрудно проверить, что множество преобразований представленных выше G=(e, a, b, c, d, f) с таблицей умножения является группой преобразований и называется группой симметрии треугольника.

Теперь находим все подгруппы из G_Δ, а затем из них выделим только нормальные подгруппы. Непосредственная проверка показывает, что в G_Δ имеются следующие подгруппы: подгруппа вращений (a, b, e), 3 подгруппы отражений относительно высот: (e,c), (e,d), (e,f), две тривиальные подгруппы: (e) и вся группа G_Δ. Далее вспомним критерия нормальности подгруппы:

Теорема 2[3]. Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое и правое разложения группы G по подгруппе N совпадают.

Результаты применения теоремы 2 показывают, что среди выше указанных подгрупп из  нормальными подгруппами являются трое: (e), (e, a, b) и вся группа G_Δ (рис 1 в).

Весь материал - в документе.

РЕШЕТКИ НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА И КВАДРАТА

Д. Г. Гмыза, e-mail: [email protected].

АННОТАЦИЯ. Известно, что нормальные подгруппы любой группы образует модулярную решетку. В связи с этим в данной заметке построены решетки нормальных подгрупп группы симметрии треугольника и квадрата.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: группа, нормальная подгруппа, модулярная решетка.

Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция такая, что выполняются следующие условия:

1. ассоциативность: для любых элементов a, b, c из G;

2. в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G;

3. для любого элемента a из G существует такой элемент из G, что , такой элемент называется обратным к элементу a.

Алгебра (L; ⋀, ⋁) называется решеткой, если L непустое множество, а ⋀ и ⋁ - бинарные операции на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглащения.

Связь между группой и решеткой непосредственно видна из следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1[1,2]. Нормальные подгруппы любой группы G образуют модулярную решетку.

Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Другими словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого g из G элемент содержится в N.

1. Решетка нормальных подгрупп правильного треугольника

Пусть А, В, С – вершины равностороннего треугольника АВС (рис. 1 а). Повернем треугольник вокруг его центра О на 120⁰ в направлении, указанном стрелкой. Тогда вершина А перейдет в вершину В, В в С, С в А. Таким образом, треугольник совместится со своим первоначальным положением (если не учитывать названия вершин), то есть поворот на 120⁰ вокруг точки О является преобразованием, переводящим данный треугольник в себя. Обозначим это преобразование через а. Его можно записать в виде , где в верхней строчке перечислены все вершины треугольника, а нижняя строчка показывает, куда каждая из них переходит. А поворот на 240⁰,обозначим это преобразование через b, тогда . Имеется еще одно преобразование, переводящее треугольник в себя, отличное от a и b- это поворот на 0⁰. Обозначим это преобразование через е, тогда

Можно составить таблицу умножения, где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторому вращению, переводящему треугольник АВС в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию g₁, и столбца, соответствующего преобразованию g₂, мы будем ставить преобразование, равное . Так, например, в выделенную клетку таблицы 1 мы должны поставить преобразование , которое получится, если сначала повернуть треугольник на 240⁰, а затем еще на 120⁰. Следовательно, – поворот на 360⁰, то есть совпадает с е. Тот же результат мы получим, если будем рассуждать следующим образом: преобразование b переводит вершину А в С, а преобразование а переводит вершину С в А. Таким образом, преобразование переводит вершину А в А. Точно так же можно получить, что вершина В переходит в В, а С переходит в С. Отсюда, , то есть .

Любое преобразование некоторой фигуры в себя, сохраняющее расстояние между всеми ее точками, называется симметрией данной фигуры. Так, рассмотренные выше, вращения равностороннего треугольника являются его симметриями.

Кроме вращений, у равностороннего треугольника имеется еще три симметрии, а именно, отражение относительно осей l₁, l₂ и l₃ (рис 1 б). Эти преобразования мы обозначим соответственно c, d, f так, что , , .

Здесь можно по-разному понимать композицию двух преобразований. Рассмотрим, например, композицию преобразования . Можно считать, что при выполнении преобразования d ось l_1­ переходит в новое положение (а именно, в положение старой оси l₃), и после этого преобразование с рассматривать как отражение относительно нового положения оси l₁ (то есть относительно старой оси l₃). С другой стороны, можно считать, что они не связаны жестко с фигурой и не преобразуются вместе с ней и, следовательно, в рассматриваемом примере после выполнения преобразования преобразование с должно выполняться как отражение относительно старой оси l₁. Именно так мы и будем рассматривать в дальнейшем композицию преобразований.

При таком подходе оказывается справедливыми рассуждения о вершинах фигуры, такие рассуждения удобно использовать для вычисления композиций преобразований.

Пусть некоторое множество преобразований G обладает следующими свойствами:

1. если преобразование g₁ и g₂ содержатся в G, то и их произведение g₃=g₁g₂ содержатся в G;

2. если преобразование g содержатся в G, то и обратное ему преобразование g^-1 содержатся в G.

Тогда такое множество преобразований G будем называть группой преобразований.

Нетрудно проверить, что множество преобразований представленных выше с таблицей умножения является группой преобразований и называется группой симметрии треугольника.

Теперь находим все подгруппы из , а затем из них выделим только нормальные подгруппы. Непосредственная проверка показывает, что в имеются следующие подгруппы: подгруппа вращений , 3 подгруппы отражений относительно высот: , , , две тривиальные подгруппы: и вся группа . Далее вспомним критерия нормальности подгруппы:

ТЕОРЕМА 2[3]. Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое и правое разложения группы G по подгруппе N совпадают.

Результаты применения теоремы 2 показывают, что среди выше указанных подгрупп из нормальными подгруппами являются трое: , и вся группа (рис 1 в).

2 Решетка нормальных подгрупп группы симметрии квадрата

Пусть обозначают соответственно вращения квадрата на 0⁰, на 180⁰, на 90⁰ и на 270⁰ в направлении указанном стрелкой, то есть , , , (рис 2 а).

Можно составить таблицу умножения, где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторому вращению, переводящему квадрат ABCD в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию g₂, мы будем ставить преобразование, равное . Так, например, в клетку поставим: , то есть .

Кроме вращений, у квадрата имеется 4 симметрии, а именно, отражения относительно осей d, f, g и h. Эти преобразования мы обозначим соответственно: , , , (рис 2 б).

Элемент g стоящий на пересечении столбца а и строки h вычисляется так: (таблица 2). Аналогично была заполнена другая часть таблицы 2.

Непосредственно проверяется, что множество преобразований квадрата с таблицей 2 образует группу, которая называется группой симметрии квадрата.

Далее, подгруппами в являются следующие: подгруппа вращений квадрата , подгруппа центральных симметрий , 4 подгруппы отражений относительно осей симметрии: , , , , и еще 2 подгруппы: и , 2 тривиальные подгруппы: и вся группа . Теперь среди этих 10 подгрупп выделим нормальных, для этого воспользуемся теоремой 2.

Если нормальная подгруппа в группе содержит элемент b или c, то она содержит всю подгруппу вращения квадрата, то есть получаем нормальную подгруппу .

Имеем и . Поэтому если один из элементов d, f входит в нормальную подгруппу, то и второй также входит в нормальную подгруппу. Так как , то в этом случае элемент также входит в нормальную подгруппу. Получаем нормальную подгруппу .

Так как , и , то так же, как выше, получаем нормальную подгруппу .

Если же нормальная подгруппа не содержит элементов , то она совпадает с нормальной группой .

Следовательно, в силу теоремы 1 имеет следующую решетку (рис 2 в).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М, Мир, 1982

2. Г. Биркгоф, Теория решеток, М, Наука, 1984

3. В. Н. Алексеев, Теория Абеля в задачах и решениях, М, Наука, 1976

и т.д.

Таблица 1

А

С

В

а)

б)

в)

Рис. 1

а)

б)

в)

Рис. 2