Материал по математике "Развитие вычислительных навыков учащихся"

Важную роль в школьном курсе обучения математике имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая элементарными способами вычислений. Гораздо меньше проблем с математикой у учащихся с прочными вычислительными навыками.

 Большое количество учащихся не владеют вычислительными навыками. Причин здесь несколько:

низкий уровень мышления учащихся;

неразвитая память и внимание;

отсутствие контроля работы детей при выполнении домашнего задания со стороны родителей;

причина и в нас, учителях: ссылаясь на отсутствие времени, мы очень мало внимания обращаем на уроках на формирование вычислительных навыков.

Требования к вычислительным умениям и навыкам учащихся.

Если учащиеся умеют достаточно бегло выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, производить тождественные преобразования различных числовых выражений то можно считать, что вычислительные навыки и умения сформированы.

Вычислительная подготовка учащихся обычно характеризуется умением организовывать процесс вычисления с использованием удобных вычислительных средств, выполнять проверку вычислений, оценивать точность приближенного результата.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.

При обучении вычислениям и совершенствовании техники счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки формируются у учащихся. Отработка навыков важна как в устной, так и в письменной работе учащихся.

В письменной работе данные числа, знаки арифметических действий, результаты записываются. Поэтому на успех вычисления большое влияние оказывает качество записей. Когда на своих уроках я провожу письменную работу, то требую от учащихся четко записывать математические символы (цифры, знаки действий), цифры и знаки располагать в соответствии с принятой записью алгоритма действий.

Устные вычисления в методическом отношении представляют собой

большую ценность. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, проявляется инициатива учащихся, потребность и самоконтроль, повышается культура счета.

При подготовке материалов для устной работы важно как можно больше заинтересовать учащихся, поэтому подбираю занимательные задачи, применяю дидактические игры, организую опрос в виде соревнований, турниров. Сейчас есть возможность использовать современные средства обучения. Поэтому, некоторые задания можно показывать на слайдах. В ходе обучения учащиеся приобретают опыт рационального выполнения вычислений.

Я учу школьников видеть свойства чисел и их комбинации, определять возможности применения изучаемых преобразований. Я стараюсь как можно чаще задавать учащимся следующие вопросы:

Нет ли более рационального пути вычисления?

Нельзя ли выполнить вычисления иначе?

Короче ли они?

Положительный результат в вычислительной работе получается еще и за

счет применения эффективных приемов счета. Например, при изучении темы «Формулы сокращенного умножения» в 7 классе я учу считать так: 51²=(50+1)²=50²+2х50х1+1²=2500+100+1=2601

Формы, методы и приемы формирования устного счета

( рекомендации из опыта работы)

5 класс.

В начале работы с классом провожу проверку знаний таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Эту работу можно организовать и заранее, осуществляя выход в четвертый класс с контрольными работами, если знать, что в будущем году этот класс достанется тебе. На класс завожу сводную таблицу, которая показывает уровень математической подготовки учащихся начальной школы.

Весь материал – смотрите документ.

Развитие вычислительных навыков учащихся.

Важную роль в школьном курсе обучения математике имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая элементарными способами вычислений. Гораздо меньше проблем с математикой у учащихся с прочными вычислительными навыками.

Большое количество учащихся не владеют вычислительными навыками. Причин здесь несколько:

• низкий уровень мышления учащихся;

• неразвитая память и внимание;

• отсутствие контроля работы детей при выполнении домашнего задания со стороны родителей;

• причина и в нас, учителях: ссылаясь на отсутствие времени, мы очень мало внимания обращаем на уроках на формирование вычислительных навыков.

Если учащиеся умеют достаточно бегло выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, производить тождественные преобразования различных числовых выражений то можно считать, что вычислительные навыки и умения сформированы.

Вычислительная подготовка учащихся обычно характеризуется умением организовывать процесс вычисления с использованием удобных вычислительных средств, выполнять проверку вычислений, оценивать точность приближенного результата.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.

При обучении вычислениям и совершенствовании техники счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки формируются у учащихся. Отработка навыков важна как в устной, так и в письменной работе учащихся.

В письменной работе данные числа, знаки арифметических действий, результаты записываются. Поэтому на успех вычисления большое влияние оказывает качество записей. Когда на своих уроках я провожу письменную работу, то требую от учащихся четко записывать математические символы (цифры, знаки действий), цифры и знаки располагать в соответствии с принятой записью алгоритма действий.

Устные вычисления в методическом отношении представляют собой

большую ценность. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, проявляется инициатива учащихся, потребность и самоконтроль, повышается культура счета.

При подготовке материалов для устной работы важно как можно больше заинтересовать учащихся, поэтому подбираю занимательные задачи, применяю дидактические игры, организую опрос в виде соревнований, турниров. Сейчас есть возможность использовать современные средства обучения. Поэтому, некоторые задания можно показывать на слайдах. В ходе обучения учащиеся приобретают опыт рационального выполнения вычислений.

Я учу школьников видеть свойства чисел и их комбинации, определять возможности применения изучаемых преобразований. Я стараюсь как можно чаще задавать учащимся следующие вопросы:

• Нет ли более рационального пути вычисления?

• Нельзя ли выполнить вычисления иначе?

• Короче ли они?

Положительный результат в вычислительной работе получается еще и за

счет применения эффективных приемов счета. Например, при изучении темы «Формулы сокращенного умножения» в 7 классе я учу считать так: 51²=(50+1)²=50²+2х50х1+1²=2500+100+1=2601

5 класс: умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами.

В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь:

- выполнять основные действия с десятичными дробями;

- применять законы сложения и умножения к упрощению выражений;

- использовать признаки делимости на 10,2,5 и 3 (дополнительно на 6 и на 4);

- округлять числа до любого разряда;

- определять порядок действий.

6 класс: закрепляю умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями.

В результате изучения нового материала учащиеся должны уметь:

- выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными

знаменателями;

- умножение и деление дробей;

- совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями;

- применять переместительный и сочетательный законы сложения и

упрощению вычислений с дробями;

- использовать распределительный закон умножения;

- выполнять действия с положительными и отрицательными числами.

У учащихся 7-9 классов развиваю и закрепляю умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эта работа проводится как при изучении нового материала, так и при выполнении тождеств сокращенного умножения.

7 класс:

- уметь выполнять тождественные преобразования над степенями с

натуральным показателем;

- выполнять тождественные преобразования с одночленами и многочленами,

при использовании тождеств сокращенного умножения.

8 класс:

- при изучении темы "Рациональные дроби", "Неравенства", "Квадратные корни и квадратные уравнения" широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

9 класс:

- в процессе изучения тем "Квадратные уравнения", "Уравнения и неравенства с двумя переменными", "Системы уравнений и неравенств", "Степень с рациональным показателем" девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.

5 класс.

В начале работы с классом провожу проверку знаний таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Эту работу можно организовать и заранее, осуществляя выход в четвертый класс с контрольными работами, если знать, что в будущем году этот класс достанется тебе. На класс завожу сводную таблицу, которая показывает уровень математической подготовки учащихся начальной школы.

Чтобы избежать списывания и поднять процент частоты эксперимента, рассчитываю задания на четные варианты.

Примерные карточки с заданиями.

А) выполните устно сложение и запишите результат

1.) 21+15= 6+37= 100+320=

33+17= 0+45= 40+250=

40+50= 210+9= 0+386=

1. Выполните сложение в столбик

567 146 538

+ + +

215 357 141

_____ _____ ____

Б) Выполните устно вычитание и запишите результат

1.) 16-13= 43-18= 719-300=

86-16= 136-0= 270-8=

270-150= 248-80= 105-60=

1. Выполните вычитание в столбик

2387 3427 4006

- - -

263 2618 1238

______ _____ _____

В) Умножение натуральных чисел.

1.) 6 ∙ 8 = 9 ∙ 0 = 36 ∙ 3 =

7 ∙ 3 = 143 ∙ 1 = 45 ∙ 100 =

5 ∙ 9 = 34 ∙ 2 = 58 ∙ 40 =

2.) Выполните умножение в столбик

37 307 236

х х х

56 43 145

____ ____ ____

Г) Деление натуральных чисел.

1.) Выполните деление устно и запишите результат

32 : 4 = 0 : 57 = 75 : 15 =

42 : 7 = 85 : 1 = 380 : 10 =

45 : 9 = 48 : 3 = 270 : 30 =

2.) Выполните деление в столбик

Д) Все действия с натуральными числами.

Расставьте порядок действий и найдите значение выражения устно.

( 56 : 7 + (54 : 6 – 48 : 8)) ∙ 4 – 10 =

Чтобы эта работа вызвала у детей интерес, можно провести игру: «Пальчиковая гимнастика».

Правильный ответ каждого действия зашифрован под определенным номером. Дети молча на пальцах показывают номер правильного ответа.

Далее, на уроках в 5-м классе каждому ученику предлагаются карточки устного счета. Каждая карточка составлена таким образом, что содержит в себе 10 столбцов и 10 строк и составлена так: по горизонтали располагаются однотипные примеры на одно и то же правило, а по вертикали – примеры на разные действия.

3 + 8

21 : 3

16 – 3

3 ∙ 8

3 + 15

51 : 3

9 – 3

3 ∙ 15

3 + 22

90 : 3

В сильном классе предлагаю считать примеры и называть ответы строка за строкой. В слабом классе предлагаю называть только ответы. Работа по карточке продолжается несколько уроков. Работаем с классом фронтально, в любое время могу прервать одного ученика и предложить дальше считать другому. Учащихся увлекает игра – соревнование. Это дает возможность развивать их внимание и проверять их работоспособность. Если на первых уроках ребята считают 25-30 примеров в минуту, то через месяц – около 60 примеров. В течение недели работы с карточкой учитель может сделать вывод об вычислительных навыках учащихся. Если ученик не высчитывает до 20 примеров в минуту, то стоит пригласить родителей на беседу.

Прошу родителей контролировать устную работу дома.

Если учащиеся стали достаточно бегло считать, то у них появляется потребность в расширении знаний приемов устного счета.

Предлагаю следующие задания, которые показываю на слайдах:

• Найди сумму чисел наиболее удобным способом:

127 + 32 + 93 + 308 = (127 + 93) + (32+ 308) = 560

• x	15	16	49
  y	7	19	27
  z	13	14
  x+y+z

  Заполни таблицу:

• Замени пропуски цифрами

7*9*5 71*28

⁺ 54*76 ⁺ 2*9**

________ ________

**718* **1200

• Какое число задумано, если из задуманного числа х вычли 12, а затем прибавили 24 и получили 32.

• Как с помощью четырех троек, употребляя знаки арифметических действий, выразить каждое из чисел от 1 до 10 (ответы через проектор)

Ответ: 1 = 33: 33 6 = 3 + 3 ∙ 3 : 3

2 = 3 : 3 + 3 : 3 7 = 3 + 3 + 3 : 3

3 = (3 + 3 + 3) : 3 8 = 3 ∙ 3 – 3 ∙ 3

4 = (3 ∙ 3 + 3) : 3 9 = 3 ∙ 3 ∙ 3 : 3

5 = (3 + 3) : 3 + 3 10 = 3∙ 3 + 3 : 3

• Разделите:

777 на 7

777777 на 77

777777777 на 777

7777777777777 на 7777

Ответ:

111

10101

1001001

100010001

• Для упрощения умножения можно применять маленькие хитрости. Например, известны равенства: 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001 и 37 ∙ 3 = 111

Воспользуйтесь ими и вычислите:

2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 37 = 1110 3∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 15 = 45045

37 ∙ 15 = 555 49 ∙ 11 ∙ 13 = 7007

• В истории математики известен такой случай: однажды, а это было в Германии, в конце 18 века, для того, чтобы заставить ученика поработать, учитель дал им задание посчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Каково же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050. Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, стал одним из величайших математиков.
  Чтобы понять прием, которым воспользовался Гаусс, найдем сумму всех чисел первого десятка:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 ∙ 11 = 55

Опираясь на этот способ, подсчитайте теперь самостоятельно сумму:

1 + 2 + 3+ …+ 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (99 + 2) + (98 + 3) + …+(97 + 4) = 50 ∙ 101 = 5050.

Вычислите сумму, используя метод Гаусса:

21 + 22 + 23 + …+ 30 = (21 + 30) + (22 + 29) + (23 + 28) + (24 + 27) + (25 + 26) = 5 ∙ 51 = 225

• Рассмотрите равенства

А) 1² = 1

11² = 121

111² = 12321

11111² = 1234321

Догадайтесь, квадратом какого числа является число:

12345654321

Ответ: 111111²

Б) 11² = 121

101² = 10201

1001² = 1002001

10001² = 100020001

Чему равен квадрат числа 1000001 Ответ: 1000002000001

6 класс:

• Игра «Надо смекнуть»

Найди правило нахождения числа, помещенного в среднюю клетку. Заполни свободную клетку.

• Не выполняя вычислений, определите: делится ли на 100 значение произведения:

62 ∙ 63 ∙ 64 ∙ 65 ∙ 66 ∙ 67 ∙ 68 ∙ 69 ∙ 70 ∙ 71 ∙ 72 ∙ 73 ∙ 74

Ответ: да

• Приемы вычислений:

1. Умножение на 5,50

а ∙ 5 = а : 2 ∙ 10 а ∙ 50 = а : 2 ∙ 100

2. Умножение на 25 и 250:

а ∙ 25 = а : 4 ∙ 100 а ∙ 50 = а : 4 ∙ 1000

3. Деление на 5 и 50:

а : 5 = а ∙ 2 : 10 а : 50 = а ∙ 2 : 100

4. Деление на 25 и 250:

а : 25 = а ∙ 4 : 100 а : 250 = а ∙ 4 : 1000

5. Умножение на 155 и 175:

а ∙ 155 = а ∙ 100 + а ∙ 50 + а ∙ 5

а ∙ 175 = а ∙ 100 + а ∙ 50 + а ∙ 25

Вычислите: 446 ∙ 5; (2230)

88 ∙ 25; (2200)

234 : 5; (46,8)

1242 : 25; (49,68)

48,8 ∙ 155; (75642)

• Учащимся очень нравиться отгадывать зашифрованное слово:

1. выполни действия

2. ответ запиши в «окошко», а рядом букву, соответствующую найденному ответу

3. полученное слово само оценит твою работу.

Аналогичную игру можно провести при решении уравнений.

7 класс:

• Некоторые пары чисел обладают такими свойствами: они сами и их квадраты отличаются лишь перестановкой цифр, например:

112² = 12544 113² = 12769 122² = 14884

211² = 44521 311² = 96721 221² = 48841

Удовлетворяют ли этому свойству пары чисел:

• Игра «Математические фокусы»

Формулы квадрата суммы и квадрата разности позволяют производить

вычисления в уме. Практически устно можно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9.

91² = (90 + 1)² = 90² + 2 ∙ 90 ∙ 1 + 1² = 8100 + 180 + 1 = 8281

69² = (70 - 1)² = 70² - 2 ∙ 70 ∙ 1 + 1² = 4900 – 140 + 1 = 4761

Можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2и 8.

102² = (100 + 2) ² = 100² + 2 ∙ 100 ∙ 2 + 2² = 1000 + 400 + 4 = 10404

48² = (50 – 2)² = 50² – 2 ∙ 50 ∙2 + 2² = 2500 – 200 + 4 = 2304

• Прием возведения в квадрат:

1. а² = а² – в² = в² = (а + в)(а - в) + в²

27² = (27 + 3)(27 – 3) + 3² = 729

1. (10а + 5)² = 100а² + 100а + 25 = 100а(а + 1) + 25

35² = 100 ∙ 3 ∙ 4 + 25 = 1225

1. (а + 1)² = а² + 2а + 1

а² = (а +1)² – 2а – 1 = (а + 1)² – (а + 1) - а

21² = 20² + 20 + 21 = 441

• Использую также карточки для устного счета по текущим темам в

виде игры «Быстрый счетчик»: засекаю определенное время, ребята на отдельных листках записывают только ответы, листки собираю и определяю, кто больше дал правильных ответов, оценку ставлю в журнал.

8 класс:

В восьмом классе интерес к математике у многих детей угасает. Зачем

считать в уме, если можно использовать калькулятор на сотовом телефоне. Поэтому стараюсь подобрать задания для устного счета в занимательной форме, включить в них некоторые исторические сведения, чтобы вызвать интерес к предмету:

• В 988 году, во время правления киевского князя Владимира, Русь приняла христианство. Вместе с религией на Русь попали и древнегреческие имена. Для выражений найдите равные по значению числа и по совпадающим ответам, соотнеси греческие имена с их дословным переводом:

Андрей – «мужественный»

Евгений – «благородный»

Галина – «спокойная»

Оставшееся имя – Елена – в переводе с греческого, означает «сверкающая».

• Выполни вычисления:



 3 + 7 + 5 = 91

 2 - + 4 = 7

 ∙ = 5

 0,1 - 5 = 3

 : (4) = 1,5

 ()² : + 5 =2

• (: 10) : = 4

 30,3 : ∙ () = 1818

Используя найденные ответы, заполните пропуски в тексте:

Имеющая самый большой цветок, растет на островах Суматра, Ява и

Калимантан в Юго-Восточной Азии. Цветок достигает  см в поперечнике, а вес его достигает  кг. Вырастает этот чудо – цветок на корнях тропической лианы, питаясь ее соком. Цветочные почки этого растения напоминают по размеру большие кочаны капусты. Развитие растения занимает  лет. года уходит на образование бутона.  года – на образование цветка. Само цветение длиться от  до  суток. Запах цветка очень неприятный и привлекает многочисленных насекомых, которые и осуществляют опыление. Для науки это растение было впервые открыто в  году учёными, из имен которых и было образовано название растения.

9 класс:

• Задание с выбором ответа:

Известны первый член и разность арифметической прогрессии :

в₁ = -10,3, d = 1,7. Найти в₃₁

Начиная с 7-го класса вычислительная линия обогащается тем, что учащимся в некоторых ситуациях рекомендовано использовать калькулятор. Возможность с помощью калькулятора выполнять расчеты быстро и безошибочно позволяет обогатить систему упражнений, включить в нее экспериментальную работу с числами, задания с реальными числовыми данными. Это чрезвычайно важно с точки зрения прикладного аспекта обучения математики, его практической ориентации. В курсе 7 – 9-х классов включены задачи, при решении которых целесообразно обратиться к калькулятору. При этом не нужно забывать о возможностях устных вычислений ответ может получиться с помощью калькулятора, но иногда достаточно устной прикидки для интерпретации результата. Хотелось бы, чтобы учащиеся видели в каких случаях применять калькулятор целесообразно.

1. В.И. Жохов, В.Н. Погодин. Математический тренажёр. Пособие для учителя и учащихся. М., Мнемозина, 2013г.

2.С.С Минаев. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике. М., Просвещение, 1983 г.

3.П.Б. Ройтман и др. Повышение вычислительной культуры учащихся. М., Просвещение, 1981 г.

4.Приложение к газете «Первое сентября» «Математика» , 2012-2014г.

5.А.В. Бобровская, О.И. Чикунова. Алгебра, геометрия Тесты: алгебра, геометрия. Пособие для учащихся 8,9 кл. Издательство «Исеть», 2005г.