Материал для учителей "Обучение решению задач по геометрии на основе программы "Geogebra""

Существует несколько систем динамической геометрии, которые могут помочь школьнику при решении задач. К таким относятся GeoGebra, Kig, KSEG.

Система GeoGebra – свободно-распространяемая динамическая геометрическая среда, которая дает возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки.

Система GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, математического анализа, будет незаменима для формирования навыков наглядного представления геометрических ситуаций.

У программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д. ) за счет команд встроенного языка, который позволяет управлять и геометрическими построениями.

Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе операционных систем), переведена на 39 языков и полностью поддерживает русский язык.

Систему можно использовать для построения линий:

построение графиков функций y = f (x) ;

построение конических сечений:

коника произвольного вида — по пяти точкам.

окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

парабола – по фокусу и директрисе;

гипербола – по двум фокусам и точке на кривой;

В системе предусмотрена возможность построения геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент локус).

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

 действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

вычисления с комплексными числами;

нахождение точек пересечения кривых;

статистические функции:

вычисление математического ожидания, дисперсии;

вычисление коэффициента корреляции;

аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

Задача 1. Треугольник АВС задан точками: А(9;–5), В(–7;–8), С(–5;–2). С помощью программы GeoGebra необходимо:

1) найти периметр треугольника;

2) найти уравнения сторон треугольника;

3) найти уравнение медианы АМ;

4) найти уравнение высоты BH;

5) найти уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне ВC;

6) найти радиус описанной окружности.

Решение:

1. Чтобы найти периметр треугольника АВС, нужно выполнить следующие построения:

a) построить вершины треугольника АВС (рисунок 31). Для этого в командной строке программы с клавиатуры последовательно ввести координаты точек в формате, ввод завершается нажатием Enter:

А=(9, –5)

В=(–2, –3)

С=(5, 2)

Важно ввод осуществлять именно в таком синтаксисе, например, разделителем между координатами должна быть запятая и т. д. 

b) построить стороны треугольника. Для этого на панели инструментов в открывающемся списке кнопки Прямые и отрезки выбрать пункт Отрезок по двум точкам (рисунок 32). Затем левой кнопкой мыши указать концы необходимых отрезков АВ, ВС, АС.

В списке свободных и зависимых объектов в окне программы слева правой кнопкой мыши по каждому объекту – отрезку АВ, ВС, АС вызвать контекстное меню (рисунок 34), в котором нужно убрать флажок отображения названия объекта и вызвать окно диалога – свойства объекта (рисунок 35), в котором указать имя объекта а (сторона треугольника, лежащая напротив угла А). Аналогично следует поступить с другими отрезками. 

Весь материал - в документе.

Христофорова А.В.

Существует несколько систем динамической геометрии, которые могут помочь школьнику при решении задач. К таким относятся GeoGebra, Kig, KSEG.

Система GeoGebra – свободно-распространяемая динамическая геометрическая среда, которая дает возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки .

Система GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, математического анализа, будет незаменима для формирования навыков наглядного представления геометрических ситуаций.

У программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.) за счет команд встроенного языка , который позволяет управлять и геометрическими построениями.

Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе операционных систем), переведена на 39 языков и полностью поддерживает русский язык.

Систему можно использовать для построения линий:

• построение графиков функций y = f (x);

• построение конических сечений:

• коника произвольного вида — по пяти точкам.

• окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

• эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

• парабола – по фокусу и директрисе;

• гипербола – по двум фокусам и точке на кривой;

В системе предусмотрена возможность построения геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент локус).

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

• действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

• вычисления с комплексными числами;

• нахождение точек пересечения кривых;

• статистические функции:

• вычисление математического ожидания, дисперсии;

• вычисление коэффициента корреляции;

• аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

Задача 1. Треугольник АВС задан точками: А(9;–5), В(–7;–8), С(–5;–2). С помощью программы GeoGebra необходимо:

1) найти периметр треугольника;

2) найти уравнения сторон треугольника;

3) найти уравнение медианы АМ;

4) найти уравнение высоты BH;

5) найти уравнение прямой, проходящей через вершину A параллельно стороне ВC;

6) найти радиус описанной окружности.

Решение:

1. Чтобы найти периметр треугольника АВС, нужно выполнить следующие построения:

a) построить вершины треугольника АВС (рисунок 31). Для этого в командной строке программы с клавиатуры последовательно ввести координаты точек в формате, ввод завершается нажатием Enter:

А=(9, –5)

В=(–2, –3)

С=(5, 2)

Важно ввод осуществлять именно в таком синтаксисе, например, разделителем между координатами должна быть запятая и т. д.

Рисунок 31 – Построение точек по координатам в программе GeoGebra.

b) построить стороны треугольника. Для этого на панели инструментов в открывающемся списке кнопки Прямые и отрезки выбрать пункт Отрезок по двум точкам (рисунок 32). Затем левой кнопкой мыши указать концы необходимых отрезков АВ, ВС, АС (рисунок 33).

Рисунок 32 – Открывающийся список кнопки «Прямые и отрезки».

Рисунок 33 – Построение отрезков АВ, ВС, АС.

В списке свободных и зависимых объектов в окне программы слева правой кнопкой мыши по каждому объекту – отрезку АВ, ВС, АС вызвать контекстное меню (рисунок 34), в котором нужно убрать флажок отображения названия объекта и вызвать окно диалога – свойства объекта (рисунок 35), в котором указать имя объекта а (сторона треугольника, лежащая напротив угла А). Аналогично следует поступить с другими отрезками.

Рисунок 34 – Контекстное меню.

Рисунок 35 – Окно свойств объекта.

с) как видно на рисунке 33, в списке объектов вместе с названием сторон треугольника указаны длины его сторон. Чтобы найти периметр треугольника, нужно выполнить еще одно действие – найти сумму длин сторон, для чего в командной строке программы ввести текст «perimetr=a+b+c» и нажать Enter. После этого в списке объектов появится переменная perimeter, значение которой равно периметру треугольника (рисунок 36). В качестве разделителя целой и дробной части в десятичных дробях программа использует точку.

Рисунок 36 – Список объектов.

2. Чтобы найти уравнения сторон треугольника, достаточно построить прямые через вершины треугольника (содержащие стороны треугольника), и в списке объектов будет отображены общие уравнения этих прямых.

На панели инструментов в открывающемся списке кнопки Прямые и отрезки нужно выбрать пункт Прямая по двум точкам (рисунок 32). Затем левой кнопкой мыши указать необходимые точки.

Рисунок 37 – Уравнения сторон треугольника.

Уравнения сторон треугольника:

AB: –2x – 11y = 37 (прямая d на чертеже – рисунок 37)

АС: –7х–4y = –43 (прямая e на чертеже – рисунок 37)

BC: –5x + 7y = –11 (прямая f на чертеже – рисунок 37)

3. Найти уравнение медианы АМ. С помощью инструмента Середина или центр (рисунок 38) построить середину стороны ВС – точку М. Затем построить прямую АМ, обозначить ее m, таким образом, нашли ее уравнение (рисунок 39):

Рисунок 38 – Открывающийся список кнопки «Точка».

Рисунок 39 – Поиск уравнения медианы АМ.

Уравнение медианы АМ: 4.5x+7.5y=3

4. Найти уравнение высоты BH. Для начала с помощью инструмента Перпендикулярная прямая (рисунок 40) нужно построить высоту BH, обозначить ее h. В списке объектов появится ее уравнение (рисунок 41).

Рисунок 40 – Открывающийся список кнопки «Перпендикулярная

прямая».

Рисунок 41 – Уравнение высоты BH.

Уравнение высоты BH: –7х–4y = –43

5. Найти уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. С помощью инструмента Параллельная прямая (рисунок 40) построить эту прямую и обозначить ее l. В списке объектов появляется ее уравнение: l=2x+11y=32 (рисунок 42).

Рисунок 42 – Поиск уравнения прямой, проходящей через вершину С

параллельно стороне АВ.

6. Найти радиус описанной окружности. Самый простой способ решения – с помощью инструмента Окружность по трем точкам (рисунок 43) построить описанную окружность через точки А, В и С (рисунок 44). В списке объектов отображается уравнение построенной окружности w. Квадрат радиуса равен примерно 31.57, а сам радиус равен 5.61. Кроме этого координаты центра окружности имеют вид: (3.6; –3.44). w=(x–3.6)² +(y+3.44)²=31.57

Рисунок 43 – Открывающийся список кнопки «Окружность».

Рисунок 44 – Решение задачи 1.

Задача 2. С помощью GeoGebra построить область плоскости заданную системой линейных неравенств. Найти координаты вершин полученного многоугольника.

Алгоритм построения:

1) в командную строку ввести уравнения прямых – границ заданных полуплоскостей, построив тем самым прямые а, b, c;

2) определить по неравенствам заданные полуплоскости и замкнутую область – многоугольник решений;

3) построить вершины этого многоугольника A, B, C, D, как точки пересечения соответствующих прямых.

Рисунок 46 – Решение задачи 2.

В списке объектов отображены искомые координаты вершин многоугольной области и указана площадь многоугольника.

Система GeoGebra как универсальный программный продукт, сочетающий в себе свойства систем динамической геометрии, систем вычислительной математики, является полноценной компьютерной математической средой, и это дает основания для использования ее в обучении геометрии. Применение системы GeoGebra позволяет по-новому строить методику изучения геометрии, повышая наглядность, увеличивая долю эмпирической составляющей в процессе познания геометрических теорий и расширяя сферу предметных и учебных задач.