Материал для конкурса-игры "Математический бой"

Задания для 2 тура.

№1. Предприятие по лесозаготовке собиралось рубить сосновый лес, но защитники природы не соглашались. Директор предприятия пытался их убедить: «Сосна сейчас составляет 99% этого леса. Мы будем рубить только сосны, и после рубки сосна будет составлять 98% оставшегося леса. » Какую часть леса собирались срубить?

 Решение: Пусть х – весь лес - 100%

 0, 99х – сосна

 0, 01х – не сосна

Т. к. рубится только сосна, то не сосна после рубки составляет 2% - 0, 01х

    100% - у , где у - весь лес после рубки. У=0. 5х

Ответ: ½ леса.

№ 2. Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в группах? Приведите пример такого разбиения на группы.

Решение. Нужно исключить три числа, например, 3, 7, 11. Подойдут группы, произведение чисел в которых равно 1440, например, и. Очевидно, что числа 7 и 11 должны быть исключены. Произведение остальных чисел есть , поэт ому еще необходимо исключить число 3 или 12.

№3.

Одна из любимых задач Л. Н. Толстого.

«Артели косцов надо было скосить 2 луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение. Обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день. Количество косцов артели обозначим буквой n. Тогда площадь первого луга равна

ns/2 + ns/4 = 3ns/4 (n косцов работали полдня, а потом n/2 косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). Площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна 3ns/8, из которых ns/4 было скошено в первый день. Таким образом, один косец за день скосил 3ns/8 – ns/4 = ns/8. Вспомнив определение величины s, получаем n = 8.

№ 4. На одной стороне угла с вершиной O отложены равные отрезки OA = AB = BC, на другой стороне – равные отрезки OD = DE = EF. Докажите, что треугольники AEC и DBF равновелики

Решение. У треугольников BEO и AEC равны основания AC = BO и общая высота из вершины E, значит, . Аналогично , значит, .

№5. От двух кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?

Решение. a - свинца в первом сплаве, b - во втором.

Отрезали х.

Свинца ax/6 и bx/12 в отрезанных

a(1 - x/6) и b(1 - x/12) в оставшихся.

Масса сплавленных

x+12 - x=12 и y+6 - y=6

Свинца в них

ax/6+b(1 - x/12)=(2ax+12b - bx)/12 и

bx/12+a(1 - x/6)=(bx+12a - 2ax)/12

(2ax+12b - bx)/12/12=(bx+12a - 2ax)/12/6

2ax+12b - bx=2bx+24a - 4ax

2a(3x - 12) - b(3x - 12)=0, (2a - b)(3x - 12)=4

Т. к. процентное содержание свинца разное, то b не равно 2a

3x=12,

x=4

Задания для 2 тура.

№1. Предприятие по лесозаготовке собиралось рубить сосновый лес, но защитники природы не соглашались. Директор предприятия пытался их убедить: «Сосна сейчас составляет 99% этого леса. Мы будем рубить только сосны, и после рубки сосна будет составлять 98% оставшегося леса.» Какую часть леса собирались срубить?

Решение: Пусть х – весь лес-100%

0,99х – сосна

0,01х – не сосна

Т.к. рубится только сосна, то не сосна после рубки составляет 2% -0,01х

100%-у , где у-весь лес после рубки. У=0.5х

Ответ: ½ леса.

№ 2. Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в группах? Приведите пример такого разбиения на группы.
Решение. Нужно исключить три числа, например, 3, 7, 11. Подойдут группы, произведение чисел в которых равно 1440, например, и . Очевидно, что числа 7 и 11 должны быть исключены. Произведение остальных чисел есть , поэт ому еще необходимо исключить число 3 или 12.

№3.

Одна из любимых задач Л. Н. Толстого.

«Артели косцов надо было скосить 2 луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение. Обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день. Количество косцов артели обозначим буквой n. Тогда площадь первого луга равна

ns/2 + ns/4 = 3ns/4 (n косцов работали полдня, а потом n/2 косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). Площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна 3ns/8, из которых ns/4 было скошено в первый день. Таким образом, один косец за день скосил  3ns/8 – ns/4 = ns/8.  Вспомнив определение величины s, получаем n = 8.

№ 4. На одной стороне угла с вершиной O отложены равные отрезки OA = AB = BC, на другой стороне – равные отрезки OD = DE = EF. Докажите, что треугольники AEC и DBF равновелики

Решение. У треугольников BEO и AEC равны основания AC = BO и общая высота из вершины E, значит, . Аналогично , значит, .

№5. От двух кусков сплавов с разным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?

Решение. a - свинца в первом сплаве, b - во втором.
Отрезали х .
Свинца ax/6 и bx/12 в отрезанных
a(1-x/6) и b(1-x/12) в оставшихся.
Масса сплавленных
x+12-x=12 и y+6-y=6
Свинца в них
ax/6+b(1-x/12)=(2ax+12b-bx)/12 и
bx/12+a(1-x/6)=(bx+12a-2ax)/12
(2ax+12b-bx)/12/12=(bx+12a-2ax)/12/6
2ax+12b-bx=2bx+24a-4ax
2a(3x-12)-b(3x-12)=0, (2a-b)(3x-12)=4
Т.к. процентное содержание свинца разное, то b не равно 2a
3x=12,
x=4

№6. Упростить.

Решение.