Лабораторная работа по теме «Применение производной для исследования монотонности и экстремумов функции»

Составитель: Сурядная Инна

Лабораторная работа по теме «Применение производной для исследования монотонности и экстремумов функции».

Тема: Применение производной для исследования монотонности и экстремумов функции

Цель: познакомиться с теоремами, показывающими, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке.

Ход работы:

I. Формулирование гипотезы.

Производная функции и свойства функции (монотонность и экстремумы функции) связаны между собой.

II. Проведение опыта. Монотонность функции.

1. Откройте приложение GeoGebra.

2. Постройте два разных графика функции .

Вспомните от чего зависит вид такого графика. _____________________________________.

3. Постройте графики производных функций из пункта 2. Для этого откройте список команд, найдите раздел «Функции и исчисления». Затем нажмите Производная [ ].

4. Проанализируете промежутки возрастания и убывания функций и значения производных данных функций на промежутках. Данные занесите в таблицу 1 и таблицу 2.

Таблица 1. Данные

Таблица 2. Сравнение

III. Вывод.

Сформулируете полученные выводы о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

1) Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (причём равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция _____________ на промежутке .

2) Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство (причём равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция ______________ на промежутке .

IV. Проведение опыта. Экстремумы функции.

1. Откройте приложение GeoGebra.

2. Постройте два разных графика функции

3. Постройте графики производных функций из пункта 2. Для этого откройте список команд, найдите раздел «функции и исчисления». Затем нажмите Производная[ ].

4. Проанализируете экстремумы функций и значения производных данных функций на промежутках. Данные занесите в таблицу 3.

Таблица 3. Функция

Таблица 4. Функция

V. Вывод.

Сформулируете полученные выводы о связи между экстремумами функции и знаком её производной.

1) В точке   производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит,  — точка максимума функции 

2) В точке   она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, — точка минимума функции  ;

3) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки   знаки производной одинаковы, то в точке   экстремума ___________________.

VI. Выводы:

1. Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки ______________ на промежутках, на которые ________________ и _______________ точки разбивают область определения функции.

2.

1) f'(x)≥0, то функция в нём не убывает;

2) f'(x)≤0, то функция в нём не возрастает;

3) f'(x)0, то функция в нём возрастает;

4) f'(x), то функция в нём убывает.

3. Если функция   имеет ____________ в точке  , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Пусть функция   непрерывна на промежутке   и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку  .

Тогда:

1) В точке   производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит,  — точка ______________ функции 

2) В точке   производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, — точка ______________ _ функции  ;

3) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки   знаки производной одинаковы, то в точке   экстремума ___________________.