Конспект урока «Признак возрастания (убывания) функции».

Конспект урока

по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме:

«Признак возрастания (убывания) функции».

Цели урока:

• Содействовать овладению умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

• Содействовать формированию интеллектуальной, исследовательской культур учащихся (умению анализировать, конкретизировать, творчески мыслить, обобщать полученные знания, размышлять и рассуждать).

• Развивать коммуникативные способности учащихся (умение работать в группах, обучаться в сотрудничестве, вести монолог и диалог).

• С помощью интересных форм работы повысить активность учащихся на уроке, добиться сознательного усвоения материала.

• Работать над повышением грамотности устной и письменной речи учащихся.

Задачи урока:

• Систематизировать знания учащихся о производной.

• Через повторение изученного материала перевести учащихся к изучению и применению признаков возрастания и убывания функции.

• Организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции.

• Мотивировать необходимость поиска рационального выполнения заданий.

Учебная задача: Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная, самостоятельная.

Оборудование: проектор, ноутбук, презентация к уроку, учебник « Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. А.Н.Колмогоров.

Ход урока:

1. Организационный момент .

Цель: проверка подготовки учащихся к уроку и создание эмоционального настроя.

Прозвенел уже звонок –
Начинаем наш урок.

Открываем все тетрадки,

В книжках нужные закладки.

На вопросы отвечаем,

Когда нужно – замолкаем.

В теме будем разбираться,

Главное – не отвлекаться!

Прозвенел уже звонок,

Начинается урок.

Встаньте, дети, не ленитесь,

Все мне дружно улыбнитесь.

Здравствуйте, ребята, сели

И на парты посмотрели.

Будут нужными опять:

Книжка, ручка и тетрадь.

Не забудет про дневник

Ни один наш ученик.

Каждый хочет получать

Только лишь оценку «5».

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций. Но прежде, применим те знания, которые получили ранее.

2. Актуализация опорных знаний.

Цель: подготовка учащихся к изучению нового материала.

Задание 1: Ученики выполняют задания устно. Ответы проверяются с помощью таблицы «ответ – буква». Записывают только буквы, из которых получаются фамилии ученых.

Найдите y'(x) или y'(x₀).

I вариант II вариант

1. y = 5x² + 4, x₀ = 6 Н 1. y = 0,5x² – 6x + 1/5 Л

2. y = 15cosx + 3 Ь 2. y = 11 + 8sinx Е

3. y = -0,5x² + 6x + 17 Ю 3. y = 2√x + 4x, x₀ = 9 Й

4. y = 1/x + 2√x Т 4. y = 4/x – √x Б

5. y = 2x + cosx О 5. y = 7,9 + 2x², x₀ = 0 Н

6. y = 60x + 4,8 Н 6. y = sinx – cosx, x₀ = 0 И

7. y = 3,5x² – 12, x₀ = 1/7 И 7. y = cosx + 2sinx, x₀ = 0 Ц

Ответы:

Б: -4/х² – 1/(2√х)

Е: 8соsх

И: 1

Й: 4,3

Л: х – 6

Н: 60

О: 2 – sinх

Т: -1/х² + 1/√х

Ц: 2

Ь: -15sinx

Ю: -x + 6

Небольшой исторический экскурс (сообщение учащегося).

В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу. Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Современное обозначение производной у ‘ ввел. Ж. Лагранж. Ньютон называл производную функции флюксией, а саму функцию – флюентой. Он открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона), метод касательных…

Системное учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названный им «Метод флюксий и бесконечных рядов»(но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736г).

Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684г, озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не является препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого рол исчисления».

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Задание 2: Указать промежутки возрастания, убывания функций:

у = 2/х; у = х² – 4; у = -х² + 3х +6; у = 0,2х⁵ – 4/3 х³

Выполнив первые три задания, получаем проблему: как найти промежутки монотонности для четвертой функции?

Итак, сформулируйте тему и цель нашего урока.(Учащиеся сами проговаривают тему и ставят цели).

Откроем рабочие тетради, запишем число и тему сегодняшнего урока:

Признаки возрастания и убывания функции.

3. Изучение нового материала(в ходе фронтальной беседы с элементами исследования).

Цели: организовать деятельность учащихся на совместное решение поставленной проблемы; организовать деятельность учащихся по обобщению и применению полученных ранее знаний; содействовать умению общаться; развитию монологической и диалогической речи, организованности, дисциплине.

? Какая функция называется возрастающей, убывающей?

? Для функций, графики которых изображены на рисунках, укажите промежутки возрастания, убывания (на рисунках графики различных функций).

Вернемся к функции у = 0,2х⁵ – 4/3 х^3.

? Как определить промежутки возрастания, убывания функции у = 0,2х⁵ – 4/3 х³

Для этого исследуем график некоторой функции (предложен на рисунке).

Н

α₂

α₁

β₂

β₁

x₃

0

у

х

х₂

х₁

y = f(х)

Задание. Проанализировать расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определить знаки значений производной.

Учащиеся самостоятельно делают вывод.

Вывод:

1. Достаточный признак возрастания функции. Если f '(x) 0 в каждой точке интервала У, то функция f возрастает на У.

2. Достаточный признак убывания функции. Если f '(x) f убывает на У.

Учащиеся вместе с учителем составляют план исследования функции на возрастание (убывание).

План:

1. Найти область определения.

2. Найти производную функции.

3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

4. Определить знаки производной.

5. Вывод о «поведении» функции.

Пример.

у = 0,2х⁵ – 4/3 х³

1. определена при любом х

2. у ' = х⁴ – 4х²

3. у ' существует во всех точках.

у ' = 0; х⁴ – 4х² = 0;

х²(х – 2)(х + 2) = 0

у ' + – – + х

у

1. Функция возрастает на луче (–∞; –2] и на луче [2; +∞).

Функция убывает на отрезке [–2; +2].

Пример 2:

4.Закрепление 

Цели: организовать деятельность учащихся на закрепление изученного материала, создание ситуации позволяющей ученикам принимать самостоятельные решения, содействовать развитию у учащихся умений анализировать поставленные перед ними вопросы и делать правильный выбор; применять полученные знания в жизненных ситуациях.

1. Решаем у доски: №279 (а,б).

(Дополнительное задание f(х)= х³-х²-х-2 для тех, кто решил вперед)

2.Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9; б) у = 3 х² — 5х + 4.

3.Учащиеся выполняют задания по порядку (каждый в своем темпе), учитель проверяет, дает рекомендации каждому индивидуально.

На «3» – №280 (б, г)

На «4» + №283 (а, б)

На «5» + исследовать функцию на монотонность

у = 0,25х⁴ – 2х³ + 5,5х² – 6х + 2π

5.Творческое задание

Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.

1. Итог урока и д/з на выбор : №281(а,б) или № 284 (а,в)

Подведем итоги урока.

Что тебе показалось интересным на уроке?

Чему вы научились в ходе урока?

Что полезного надо запомнить?

7.Рефлексия

Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.

К высотам познанья!

За кручей обрыв!

Дороги орлам незнакомы.

Пройдет человек лишь,

Но прежде открыв

Природы и чисел законы.

Искателей истин судьба нелегка,

Но тень их достанет в веках облака.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора.

На экране представлены смайлики: какие соответствуют вашему настроению?

Спасибо за урок. Всего вам доброго.

Дополнительное задание

Используя признаки возрастания (убывания) докажите, что данные функции или монотонно возрастают или монотонно убывают. (слайды …)

1) у = х⁵ + х³ - 2;

2) у = 4х + _;

3) у = _ + 3;

40 у = 4 – 3х.