Конспект урока
по алгебре и началам анализа
в 10 классе по теме:
«Признак возрастания (убывания) функции».
Цели урока:
Содействовать овладению умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
Содействовать формированию интеллектуальной, исследовательской культур учащихся (умению анализировать, конкретизировать, творчески мыслить, обобщать полученные знания, размышлять и рассуждать).
Развивать коммуникативные способности учащихся (умение работать в группах, обучаться в сотрудничестве, вести монолог и диалог).
С помощью интересных форм работы повысить активность учащихся на уроке, добиться сознательного усвоения материала.
Работать над повышением грамотности устной и письменной речи учащихся.
Задачи урока:
Систематизировать знания учащихся о производной.
Через повторение изученного материала перевести учащихся к изучению и применению признаков возрастания и убывания функции.
Организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции.
Мотивировать необходимость поиска рационального выполнения заданий.
Учебная задача: Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная, самостоятельная.
Оборудование: проектор, ноутбук, презентация к уроку, учебник « Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. А.Н.Колмогоров.
Ход урока:
1. Организационный момент .
Цель: проверка подготовки учащихся к уроку и создание эмоционального настроя.
Прозвенел уже звонок –
Начинаем наш урок.
Открываем все тетрадки,
В книжках нужные закладки.
На вопросы отвечаем,
Когда нужно – замолкаем.
В теме будем разбираться,
Главное – не отвлекаться!
Прозвенел уже звонок,
Начинается урок.
Встаньте, дети, не ленитесь,
Все мне дружно улыбнитесь.
Здравствуйте, ребята, сели
И на парты посмотрели.
Будут нужными опять:
Книжка, ручка и тетрадь.
Не забудет про дневник
Ни один наш ученик.
Каждый хочет получать
Только лишь оценку «5».
Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций. Но прежде, применим те знания, которые получили ранее.
2. Актуализация опорных знаний.
Цель: подготовка учащихся к изучению нового материала.
Задание 1: Ученики выполняют задания устно. Ответы проверяются с помощью таблицы «ответ – буква». Записывают только буквы, из которых получаются фамилии ученых.
Найдите y'(x) или y'(x0).
I вариант II вариант
y = 5x² + 4, x0 = 6 Н 1. y = 0,5x² – 6x + 1/5 Л
y = 15cosx + 3 Ь 2. y = 11 + 8sinx Е
y = -0,5x² + 6x + 17 Ю 3. y = 2√x + 4x, x0 = 9 Й
y = 1/x + 2√x Т 4. y = 4/x – √x Б
y = 2x + cosx О 5. y = 7,9 + 2x², x0 = 0 Н
y = 60x + 4,8 Н 6. y = sinx – cosx, x0 = 0 И
y = 3,5x² – 12, x0 = 1/7 И 7. y = cosx + 2sinx, x0 = 0 Ц
Ответы:
Б: -4/х² – 1/(2√х)
Е: 8соsх
И: 1
Й: 4,3
Л: х – 6
Н: 60
О: 2 – sinх
Т: -1/х² + 1/√х
Ц: 2
Ь: -15sinx
Ю: -x + 6
Небольшой исторический экскурс (сообщение учащегося).
В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу. Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Современное обозначение производной у ‘ ввел. Ж. Лагранж. Ньютон называл производную функции флюксией, а саму функцию – флюентой. Он открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона), метод касательных…
Системное учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном. Если Ньютон находил в основном из задач механики, то Лейбниц по преимуществу находил из геометрических задач. Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названный им «Метод флюксий и бесконечных рядов»(но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736г).
Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684г, озаглавленная «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не является препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого рол исчисления».
В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
Задание 2: Указать промежутки возрастания, убывания функций:
у = 2/х; у = х2 – 4; у = -х2 + 3х +6; у = 0,2х5 – 4/3 х3
Выполнив первые три задания, получаем проблему: как найти промежутки монотонности для четвертой функции?
Итак, сформулируйте тему и цель нашего урока.(Учащиеся сами проговаривают тему и ставят цели).
Откроем рабочие тетради, запишем число и тему сегодняшнего урока:
Признаки возрастания и убывания функции.
3. Изучение нового материала(в ходе фронтальной беседы с элементами исследования).
Цели: организовать деятельность учащихся на совместное решение поставленной проблемы; организовать деятельность учащихся по обобщению и применению полученных ранее знаний; содействовать умению общаться; развитию монологической и диалогической речи, организованности, дисциплине.
? Какая функция называется возрастающей, убывающей?
? Для функций, графики которых изображены на рисунках, укажите промежутки возрастания, убывания (на рисунках графики различных функций).
Вернемся к функции у = 0,2х5 – 4/3 х3.
? Как определить промежутки возрастания, убывания функции у = 0,2х5 – 4/3 х3
Для этого исследуем график некоторой функции (предложен на рисунке).
Н
α2
α1
β2
β1
x3
0
у
х
х2
х1
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_2.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_3.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_4.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_5.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_6.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_7.png)
y = f(х)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_8.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_9.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_10.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_11.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_12.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_13.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_14.png)
![](https://fsd.videouroki.net/html/2017/03/05/v_58bc1ba79cd68/99682821_15.png)
Задание. Проанализировать расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определить знаки значений производной.
Учащиеся самостоятельно делают вывод.
Вывод:
Достаточный признак возрастания функции. Если f '(x) 0 в каждой точке интервала У, то функция f возрастает на У.
Достаточный признак убывания функции. Если f '(x) f убывает на У.
Учащиеся вместе с учителем составляют план исследования функции на возрастание (убывание).
План:
Найти область определения.
Найти производную функции.
Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Определить знаки производной.
Вывод о «поведении» функции.
Пример.
у = 0,2х5 – 4/3 х3
определена при любом х
у ' = х4 – 4х2
у ' существует во всех точках.
у ' = 0; х4 – 4х2 = 0;
х2(х – 2)(х + 2) = 0
у ' + – – + х
у
Функция возрастает на луче (–∞; –2] и на луче [2; +∞).
Функция убывает на отрезке [–2; +2].
Пример 2:
1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует. 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на каждом из интервалов 6. Применить признаки. 7. Записать ответ. | |
4.Закрепление
Цели: организовать деятельность учащихся на закрепление изученного материала, создание ситуации позволяющей ученикам принимать самостоятельные решения, содействовать развитию у учащихся умений анализировать поставленные перед ними вопросы и делать правильный выбор; применять полученные знания в жизненных ситуациях.
1. Решаем у доски: №279 (а,б).
(Дополнительное задание f(х)= х³-х²-х-2 для тех, кто решил вперед)
2.Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.
а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9; б) у = 3 х² — 5х + 4.
3.Учащиеся выполняют задания по порядку (каждый в своем темпе), учитель проверяет, дает рекомендации каждому индивидуально.
На «3» – №280 (б, г)
На «4» + №283 (а, б)
На «5» + исследовать функцию на монотонность
у = 0,25х4 – 2х3 + 5,5х2 – 6х + 2π
5.Творческое задание
Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.
Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
Итог урока и д/з на выбор : №281(а,б) или № 284 (а,в)
Подведем итоги урока.
Что тебе показалось интересным на уроке?
Чему вы научились в ходе урока?
Что полезного надо запомнить?
7.Рефлексия
Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.
К высотам познанья!
За кручей обрыв!
Дороги орлам незнакомы.
Пройдет человек лишь,
Но прежде открыв
Природы и чисел законы.
Искателей истин судьба нелегка,
Но тень их достанет в веках облака.
И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора.
На экране представлены смайлики: какие соответствуют вашему настроению?
Спасибо за урок. Всего вам доброго.
Дополнительное задание
Используя признаки возрастания (убывания) докажите, что данные функции или монотонно возрастают или монотонно убывают. (слайды …)
1) у = х5 + х3 - 2;
2) у = 4х + ;
3) у = + 3;
40 у = 4 – 3х.