Конспект урока по математике по теме "Исследование функций с помощью производной"

Вид общения – общение в парах сменного состава (диалогические сочетания).

Организационная форма обучения – коллективная (каждый учит каждого).

Способ обучения – коллективный способ обучения (КСО) включает четыре формы способа обучения: коллективную, групповую, парную и индивидуальную.

Коллективным способом обучения является такая его организация, при которой обучение осуществляется путем общения в «динамических парах» (со сменным составом), когда каждый учит (проучивает каждого).

Этот способ использует идею взаимного обучения, без учета различий наличного уровня знаний и способностей, включая в посильный диалог – общение всех детей, применяя форму динамических (меняющихся) пар, в которых ребенок выступает поочередно то учеником, то учителем.

Целевые ориентации.

Усвоение ЗУН, своевременная их коррекция.

Проверка каждого ученика по каждой изучаемой теме.

Формирование самостоятельности.

Развитие коммуникативных качеств личности.

Воспитание общечеловеческих качеств личности.

Концептуальные положения.

КСО – это включение в учебный процесс естественной структуры общения между людьми – динамических диалогических пар.

 Принципы:

- завершенность или ориентации на высшие конечные результаты,

- непрерывности и безотлагательности передачи полученных знаний друг другу,

- сотрудничества и взаимопомощи между учениками,

- разнообразия тем и заданий (разделение труда),

- разноуровности (разновозрастности) участников педагогического процесса,

- обучение по способностям индивида,

- педагогизации деятельности каждого участника учебного процесса.

2. Актуализация знаний.

Задания на исследований функций встречаются в ЕГЭ. Задание № 8 проверяет умение устанавливать взаимосвязь между свойствами функции и ее производной. Здесь можно выделить два основных типа заданий: 1) задачи на геометрический смысл производной,

2) задачи на исследование промежутков монотонности и точек экстремумов функции.

Задание № 14 представляет собой задачу на поиск точек экстремумов, наибольшего или наименьшего значения функции на заданном промежутке.

Сегодняшний урок будет посвящен повторению формул дифференцирования, правил дифференцирования, геометрического и механического смысла производной к исследованию функций.

3. Индивидуальная работа.

Учитель консультирует по мере возникновения вопросов со стороны учащихся до тех пор, пока не будет отработан каждый вариант хотя бы одним из учащихся, то есть до тех пор пока не произошел так называемый «запуск» материала.

4. Работа в парах сменного состава.

Учитель наблюдает за работой учащихся, при необходимости помогает.

5. Окончание 1 урока.

Собираются листки учета.

Класс проветривается.

Полную информацию смотрите в файле. 

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа» с. Визинга

(Визингская СОШ)

Исследование функций с помощью производной.

Составитель: Крючкова В.А.

Должность : учитель математики

с. Визинга, 2014 г.

Коллективный способ обучения (КСО)

Обучение – это общение человека с человеком.

Вид общения – общение в парах сменного состава (диалогические сочетания).

Организационная форма обучения – коллективная (каждый учит каждого).

Способ обучения – коллективный способ обучения (КСО) включает четыре формы способа обучения: коллективную, групповую, парную и индивидуальную.

Коллективным способом обучения является такая его организация, при которой обучение осуществляется путем общения в «динамических парах» (со сменным составом), когда каждый учит (проучивает каждого).

Этот способ использует идею взаимного обучения, без учета различий наличного уровня знаний и способностей, включая в посильный диалог – общение всех детей, применяя форму динамических (меняющихся) пар, в которых ребенок выступает поочередно то учеником, то учителем.

Целевые ориентации.

Усвоение ЗУН, своевременная их коррекция.

Проверка каждого ученика по каждой изучаемой теме.

Формирование самостоятельности.

Развитие коммуникативных качеств личности.

Воспитание общечеловеческих качеств личности.

Концептуальные положения.

КСО – это включение в учебный процесс естественной структуры общения между людьми – динамических диалогических пар.

Принципы:

- завершенность или ориентации на высшие конечные результаты,

- непрерывности и безотлагательности передачи полученных знаний друг другу,

- сотрудничества и взаимопомощи между учениками,

- разнообразия тем и заданий (разделение труда),

- разноуровности (разновозрастности) участников педагогического процесса,

- обучение по способностям индивида,

- педагогизации деятельности каждого участника учебного процесса.

Организационно – методические особенности.

Каждый ученик в процессе обучения систематически становится обучаемым и обучающим.

Методика взаимообмена заданиями, взаимопередачи тем.

Теоретический материал и упражнения распределяются по карточкам, которые выдаются учащимся с заданием освоить (повторить) в самостоятельной работе (прием «запуска»).

Затем каждый выбирает партнера и происходит взаимообучение, выполнение упражнений на закрепление. Обмен карточками, поиск нового партнера.

При этом ведется экран учета работы учащихся, применяются маршрутные карты, различные формы контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль учителя.

Алгоритм работы по методике КСО.

1) Получите карточку своим вариантом (карточка с цветовым сигналом).

Поставьте точку на листке учета против своей фамилии.

2) Выучите самостоятельно (или со своим соседом) материал, данный в первой части карточки (правила, определение, понятия, формулировки законов).

3) Выполните самостоятельно задание второй части карточки. Проверьте себя, сможете ли вы записать всё, что необходимо и рассказать товарищу по первой части своей карточки, и в листке учета исправьте точку на «+», то есть готовь к обмену с заданиями.

4) Найдите по цветовому сигналу, отличному от вашего карточку партнера, запишите его фамилию и вариант в листке учета.

5) Проработайте с ним первую часть вашей карточки.

6) Ваш партнер прорабатывает с вами материал первой части своей карточки.

7) Обменяйтесь карточками и выполните задания второй части новой для себя карточки самостоятельно.

8) Обсудите результаты с партнером.

9) Поблагодарите друг друга и найдите нового партнера по цвету карточки.

10) Работайте с новым партнером, начиная с шага 4.

Итоговый контроль – тестирование (самостоятельная работа).

Особенности методики и функции КСО.

1. Организационные: все говорят, общаются друг с другом, смена рабочего места.

2. Дидактические6 сотрудничество – основа обучения, полная самостоятельность, усвоение и применение максимально приближены.

3. Развивающие: учатся выступать, рассуждают, доказывают, работают в соответствии с индивидуальными особенностями, развитие педагогических способностей.

4. Воспитательные: каждый работает на себя и другого, отношения ответственной зависимости ( коллективистские).

5. Здоровьесберегающие: смена форм учебной деятельности. Постоянное движение, смена партнеров, общение снимает усталость, напряжение.

В результате применения КСО на уроках формируются следующие универсальные учебные действия (УУД):

- коммуникативные

- познавательные

- регулятивные

- личностные.

Регулятивные учебные действия: целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция.

Личностные: самоопределение, смыслообразование, нравственно – этическое оценивание («что такое хорошо, что такое плохо»).

Познавательные: общеучебные универсальные действия, логические универсальные действия, постановка и решение проблемы.

Коммуникативные действия: планирование, постановка вопросов, разрешение конфликтов, контроль, коррекция действий.

Применяя КСО можно провести следующие типы уроков: урок изучения нового материала, урок закрепления знаний, урок повторения, урок систематизации изученного материала.

Литература: Дьяченко В.К. «Сотрудничество в обучении»

М. просвещение, 1991 г.

Урок по КСО (2 ч).

План конспект урока.

Учитель математики: Крючкова Валентина Александровна.

Предмет: математика.

Класс: 11.

Тема: исследование функций с помощью производной.

Цель: повторить материал, изученный в 10 классе, создать и управлять ситуацией, где учащиеся повторят правила дифференцирования, геометрический, механический смысл производной, признаки возрастания и убывания функции, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Задачи:

Образовательные (формирование познавательных УУД): создать условия для систематизации и обобщения знаний учащихся по теме »Производная».

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД). Возможность сотрудничества: умение слышать, слушать и понимать партнера, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, взаимно контролировать действия друг друга, уметь договариваться, вести дискуссию, правильно выражать свои мысли, оказывать поддержку друг другу, эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками.

Развивающие (формирование регулятивных УУД): обеспечение возможности управления познавательной и учебной деятельностью посредством постановки целей, планирования, контроля, коррекции своих действий, оценки успешности усвоения.

Тип урока: урок повторение.

Формы работы учащихся: индивидуальная, в парах сменного состава.

Планируемые результаты:

Предметные: научиться решать несложные задачи на применение производной к исследованию функций.

Личностные: умение работать в парах сменного состава, уважать собеседника, сориентироваться в нравственных нормах и правилах.

Метапредметные: уметь обрабатывать информацию: выбрать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результат своей деятельности.

Ход урока.

Приложение 1

Карточка 1.

Формула дифференцирования

Значения производных функций f и g в точке _ обозначим так:f’(_=f,g’_=g

П Р А В И Л О 1.(Дифференцирование суммы).Если функции f и gдифференцируемы в точке _,

То их сумма дифференцируема в этой точке и (f + g)’=f’+g’.

П Р А В И Л О 2.(Дифференцирование произведения).Если функции fи gдифференцируемы в точке _,то их произведение дифференцируемо в этой точке и (f·g)’=f · g + f · g’ .

П Р А В И Л О 3.(Дифференцирование частного).Если функции f и g дифференцируемы в точке _ и функция g не равна нулю в этой точке ,то частное_также дифференцируемо в этой точке и(_)’=_

П Р А В И Л О 4.(Производная сложной функции)Если функция fдифференцируема в точке _,а функция g имеет производную в точке_=f(_,то сложная функция h(x)=g(f(x))также дифференцируема в точке_ и h’(_)=g’(f(_)) ·f’(_).

IIчасть. Найти производную функцию и выбрать номер правильного ответа.

1. y=_ – _

1)_ - _ 2)_+ _

3)x_ - _ 4)x_ + _

2.y=_ - _

1)4x - _ 2)4_ - _

3)4_ + _ 4)4x + _

3. y=_

1)_ 2)-_

3)_ 4)-_

4. y=xlnx

1)1 + lnx 2)-1 + lnx 3)1 4)1 – lnx

5.Найти значение f’(4),если f(x)=4_ – 5

1)3 2)2 3)-1 4)1

6.Найти значение f’(0),если f(x)=_ +x

1)1+_ 2)2ln2 +1 3)1 + ln2 4)1

7.Решите неравенство f’(x)0,если f(x)=-_-4x+2005

1)(-∞;-2) 2)(-2;+∞)

3)(-∞;2) 4)(2;+∞)

8.Решите уравнение f’(x)=0,если f(x)=(x-1)(_ + 1) (x + 1)

1)-1 2)1 3)±1 4)0

Карточка 2.

Формулы дифференцирования

I часть. Прочитать геометрический смысл произведений, механический смысл производной, записать основные формулы

Геометрический смысл производной.

Касательная к графику функции

Существование производной функции f в точке _ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (_; f(_)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f’(_). В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции f в точке A(_; _)) имеет вид: _)_.

Замечание: Число _ в уравнении прямой _называют угловым коэффициентом прямой,k равен тангенсу угла, который образует прямая _с положительным направлением оси _. В уравнении касательной _, значит, значение производной в точке _, т.е. _, равно тангенсу угла наклона касательной графика функции f_ в точке с абциссой _к положительному направлению оси _.

Механический смысл производной.

Если материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т.е. координата _ этой точки есть известная функция _времени _, то мгновенная скорость _определена (только) для любой дифференцируемой функции _ , при этом _. Т.е. механический смысл производной состоит в том, что производная от координаты по времени есть скорость. Аналогично и с ускорением движения: _. Короче: производная от скорости по времени есть ускорение.

Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абциссой_ ._ , _.

Решение: _ – общее уравнение касательной.

_

Y=5+3(x-2)=5+3x-6=3x-1

Y=3x-1

Пример 2. Найти скорость и ускорение точки в момент _, если x(t)=_

Решение: _

II часть.

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абциссой _, чему равен тангенс угла наклона касательной?

1. Найдите скорость и ускорение точки в момент _, если
   

Карточка 3.

Формулы дифференцирования

_ часть. Прочитать и законспектировать тему «Применение производной к исследованию функции».

Применение производной к исследованию функции

Признак возрастания (убывания) функции

Достаточный признак возрастания функции. Если _в каждой точке интервала _, то функция fвозрастает на интервале _.

Достаточный признак убывания функции. Если _в каждой точке интервала _, то функция _убывает на интервале _.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции .

Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называется критическими точками.

Признак максимума функции. Если функция _ непрерывна в точке _, a_на интервале_ и _на интервале _, то точка _является точкой максимума функции. Короче: если в точке _производная функции _меняет знак с плюса на минус, то _есть точка максимума функции _

Признак минимума функции. Если функция_непрерывна в точке _ , a_на интервале _и _на интервале_является точкой минимума функции. Короче: если в точке _производная функции _ меняет знак с минуса на плюс, то _есть точка минимума функции _.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума. Значения функции в этих очках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название – экстремум функции).

_

_

Пример. Исследовать функцию _на возрастание и убывание. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

Решение. _

Найдем критические точки_

_

_

Функция убывает на промежутках

Функция возрастает на промежутке _

Точка минимума _

Точка максимума _

Минимум функции_

Максимум функции _

_Исследовать функцию _на возрастание и убывание. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

Карточка 4.

Формулы дифференцирования

Iчасть.Переписать пункты нахождения наибольшего и наименьшего значений. Более подробно разобрать задание на нахождение наименьшего и наибольшего значения функций на отрезке.

Наибольшее и наименьшее значение функций на отрезке

Теорема Вайерштрасса. Непрерывная на отрезке [a;b] функция fпринимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции f на отрезке.

1. Находим критические точки функции f.

2. Выбираем те из них, которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычисляем значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезков.

4. Из полученных чисел выбираем наибольшее (наименьшее).

Задание 15. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(_)=_ на отрезке [-1; 1].

Решение. Функция f(x) определена и дифференцируема на R.

Найдем критические точки функции, т.е в данном случае решим уравнение f'(x)=0.

Функция имеет критические точки: - 2, _ и 0.

Отрезку [-1; 1] принадлежит только точка 0.

Вычислим значения функции на концах отрезка в точке 0.

Ответ: _

II часть. Найти наибольшее и наименьшее значение функции _на отрезке [0; 3]. В ответе укажите их сумму.

Приложение 2

Листок учета

Приложение 3