Конспект урока по математике "Метод введения новой переменной"

Цели урока:

1) обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с методами решения уравнений.

2) развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.

3) воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Ход урока.

1. Организационный момент (Объявить тему и цели урока, познакомить учащихся с ходом проведения урока).

2. Проверка знаний учащихся.

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию, разбор нерешенных задач.

2) Фронтальный опрос учащихся..

3. Изучение нового материала.

Этим методом мы с вами часто пользовались при решении уравнений. Суть метода проста: если уравнение f(x) =0 удалось преобразовать к виду p(g(x) ) =0, то нужно ввести новую переменную u=g(x) и решить уравнение р(u) =0, а затем решить совокупность уравнений:

g(х) =u₁; g(x) =u₂;... ; g(x) =u_n, где u₁, u₂, …u_n - корни уравнения р(и) =0.

Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований.

Решая уравнение, не торопитесь начинать преобразования, сначала подумайте, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. И еще: если вы ввели новую переменную, то решите полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т. е. вплоть до проверки его корней (если это необходимо), и только потом возвращайтесь к исходной переменной.

4. Формирование умений и навыков.

1. Анализ примеров из учебника.

Пример 3. Решить уравнение.

√x²-x+2+√x²-x+7=√2x²-2x+21

Решение. Введя новую переменную u=x²-x, получим существенно более простое иррациональное уравнение:

√u+2+√u+7=√2u+21.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

(√u+2+√u+7) ²=(√2u+21) ;

u+2+2√u+2√u+7+u+7=2u+21;

√(u+2) (u+7) =6;

u²+9u+14=36;

u²+9u-22=0; 

u₁=2, u₂=11.

Проверка, (здесь она обязательна), подстановкой в уравнение u+2+2√u+2√u+7+u+7=2u+21 показывает, что u ₁ = 2 - корень уравнения, а u₂ = -11 - посторонний корень.

Обратная замена:

х² - х = 2,

х² - х - 2 = 0,

х₁ = 2, х₂ = -1.

Ответ: 2, -1.

Весь материал - в документе.

Урок 72 Класс 11 Дата: Тема: Метод введения новой переменной. Цели урока:

1) обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее важным вопросам, связанным с методами решения уравнений.

2) развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.

3) воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Тип урока: комбинированный урок обобщения.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Ход урока

1. Организационный момент (Объявить тему и цели урока, познакомить учащихся с ходом проведения урока).

2. Проверка знаний учащихся

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию, разбор нерешенных задач.

2. Фронтальный опрос учащихся

1. Изучение нового материала.

Этим методом мы с вами часто пользовались при решении уравнений. Суть метода проста: если уравнение f(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x) и решить уравнение р(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений:

g(х) = u₁; g(x) = u₂; ...; g(x) = u_n, где u₁, u₂, …u_n — корни уравнения р(и) = 0.

Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда

несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется» лишь в процессе преобразований.

Решая уравнение, не торопитесь начинать преобразования, сначала подумайте,

нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. И еще: если вы ввели новую переменную, то решите полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т. е. вплоть

до проверки его корней (если это необходимо), и только потом возвращайтесь к исходной переменной.

1. Формирование умений и навыков.

   1. Анализ примеров из учебника.

Проверка, (здесь она обязательна), подстановкой в уравнение показывает, что u₁ = 2 — корень уравнения, а u₂ = -11 — посторонний корень.

Обратная замена: х² - х = 2,

х² - х - 2 = 0,

х₁ = 2, х₂ = -1.

Ответ: 2, -1.

1. Решение упражнений из учебника. §56, № 15(а) – 17(а), 18(а,б) - 20(а,б).

1. Подведение итогов урока.

Выставление оценок учащимся.

Домашнее задание: № 15(б) – 17(б), 18(в,г) - 20(в,г)