Конспект урока по алгебре на тему «Неравенства с модулем»

Цель:

формировать умения решать неравенства с модулем вида │f (x) │< a и │ f (x) │> a.

Ход урока.

1.Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

2. Устные упражнения.

1)  Раскрыть модуль

│π -3│ │√3 + √5│  │1- √2│ │√5 -2│ │x²│

│x⁴+1│ │x²-x+ ¹/₄ │ │x²+2x+2│

2) Решить уравнения

│x²-6x-7│=√3-2

│x│=-x²-1

│x│=x

│x│=-x²

x-│x│=x²

│x²-1│=1-x²

│x-2│=│2-x│

3) Решить неравенства

X²>0   x²≤0  1/x²+1>0  x(x²+1)>0

3. Объяснение нового материала.

Рассмотрим неравенство │x│<3. Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой такие точки  x , которые удовлетворяют условию ρ (x,0)<3, т.е. удалены от начала отсчета на расстояние меньше, чем 3. На расстояние, равное 3, удалены точки -3 и 3. А на расстояние меньше 3 точки, которые находятся между данными точками.

Следовательно, решениями неравенства являются все числа из интервала (-3;3), т. е. все числа, которые больше -3, но меньше 3.

Данное неравенство │x│<3 равносильно двойному неравенству -3

Вывод: неравенство │f (x) │< a  (a>0) равносильно двойному неравенству –a

При a<0 неравенство решений не имеет, т. к. модуль – неотрицательное число.

Например, решим неравенство │x-1│<2

-2

Ответ: (-1; 3).

Рассмотрим неравенство │x│>2.  На координатной прямой надо найти такие точки, которые удовлетворяют условию ρ (x, 0)>2, т. е. удалены от начала отсчета на расстояние больше, чем 2.

На расстоянии, равном 2, от начала отсчета находятся точки -2 и 2. А на расстоянии больше 2 точки, которые расположены левее -2 и правее 2.

Следовательно, решения данного неравенства интервалы (-∞;-2), (2;+∞).

Вывод: неравенство │f (x)│>a  (a>0)  равносильно совокупности неравенств f (x) <-a и f (x)>a.

При a<0 неравенство верно при любом x из О. Д. З. f (x).

Например, решить неравенство │5-3x│≥6

5-3x≤-6        5-3x≥6

-3x≤-11       -3x≥1

x≥3 ²/₃           x≤-^1/₃

Ответ: (-∞;-^1/₃)  (3  ^2/₃;+∞).

Весь материал - в документе.