Цель:
формировать умения решать неравенства с модулем вида │f (x) │< a и │ f (x) │> a.
Ход урока.
1.Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.
2. Устные упражнения.
1) Раскрыть модуль
│π -3│ │√3 + √5│ │1- √2│ │√5 -2│ │x2│
│x4+1│ │x2-x+ 1/4 │ │x2+2x+2│
2) Решить уравнения
│x2-6x-7│=√3-2
│x│=-x2-1
│x│=x
│x│=-x2
x-│x│=x2
│x2-1│=1-x2
│x-2│=│2-x│
3) Решить неравенства
X2>0 x2≤0 1/x2+1>0 x(x2+1)>0
3. Объяснение нового материала.
Рассмотрим неравенство │x│<3. Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой такие точки x , которые удовлетворяют условию ρ (x,0)<3, т.е. удалены от начала отсчета на расстояние меньше, чем 3. На расстояние, равное 3, удалены точки -3 и 3. А на расстояние меньше 3 точки, которые находятся между данными точками.
Следовательно, решениями неравенства являются все числа из интервала (-3;3), т. е. все числа, которые больше -3, но меньше 3.
Данное неравенство │x│<3 равносильно двойному неравенству -3
Вывод: неравенство │f (x) │< a (a>0) равносильно двойному неравенству –a
При a<0 неравенство решений не имеет, т. к. модуль – неотрицательное число.
Например, решим неравенство │x-1│<2
-2
Ответ: (-1; 3).
Рассмотрим неравенство │x│>2. На координатной прямой надо найти такие точки, которые удовлетворяют условию ρ (x, 0)>2, т. е. удалены от начала отсчета на расстояние больше, чем 2.
На расстоянии, равном 2, от начала отсчета находятся точки -2 и 2. А на расстоянии больше 2 точки, которые расположены левее -2 и правее 2.
Следовательно, решения данного неравенства интервалы (-∞;-2), (2;+∞).
Вывод: неравенство │f (x)│>a (a>0) равносильно совокупности неравенств f (x) <-a и f (x)>a.
При a<0 неравенство верно при любом x из О. Д. З. f (x).
Например, решить неравенство │5-3x│≥6
5-3x≤-6 5-3x≥6
-3x≤-11 -3x≥1
x≥3 2/3 x≤-1/3
Ответ: (-∞;-1/3) (3 2/3;+∞).
Весь материал - в документе.