Ключевые задачи по теории вероятностей. Подготовка к ОГЭ.

Ключевые задачи по теории вероятностей (ОГЭ №9 по математике 2018-2019 )

Учитель математики ГБОУ СОШ №110

Маркова Л.В.

Классическое определение вероятности

m

Напомним формулу для вычисления классической вероятности случайного события

Р =

n

• Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения

Классическое определение вероятности

• Пример: Родительский комитет закупил 40 кижек-раскрасок для подарков детям на окончание учебного года. Из них 14 по сказкам А.С. Пушкина и 26 по сказкам Г.Х.Андерсена . Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Насте достанется книжка-раскраска по сказкам А.С. Пушкина.

• Решение: m= 14; n= 14 +26=40

Р= 14/40= 0,35

• Ответ: 0, 35.

Классическое определение вероятности

• Пример: На экзамен было вынесено 60 вопросов. Иван не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос.
• Решение: Здесь n=60. Иван не выучил 3, значит выучил все остальные, т.е. m= 60-3=57.

• Р=57/60=0,95.

• Ответ: 0,95.

«Порядок определяется жеребьёвкой»

• Пример: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные- из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием . Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая пятой , окажется из Китая.
• Решение: В условии задачи есть «волшебное» слово «жребий», значит мы забываем о порядке выступления.

Т.о., m= 20-8-7=5 (из Китая); n=20.

Р= 5/20 = 0,25.

• Ответ: 0, 25.

«Порядок определяется жеребьёвкой»

• Пример: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов- первые 3 дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между 4-м и 5-м днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой . Какова вероятность того, что доклад профессора Иванова окажется запланированным на последний день конференции?
• Решение: Занесём данные в таблицу.

• Получили, что m=12; n=75.
• Р=12/75= 0,16.

• Ответ: 0,16.

День

Число докладов

I

II

17

III

17

IV

17

12

V

Всего

12

75

Частота события

• Точно так же, как и вероятность, находится частота события , задания на которую также есть в прототипах. В чём же отличие? Вероятность- это прогнозируемая величина, а частота- констатация факта.

• Пример: Вероятность того, что новый планшет в течение года поступит в гарантийный ремонт , равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных планшетов в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
• Решение: Найдём частоту события: 51/1000=0,051. А вероятность равна 0,045 (по условию).Значит в этом городе событие «гарантийный ремонт» происходит чаще, чем предполагалось. Найдём разницу

∆ = 0,051- 0,045= 0,006.

При этом, надо учесть, что нам НЕ важен знак разности, а лишь её абсолютное значение.

Ответ: 0,006.

Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи»)

Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2 k .

Пример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение: Варианты выпадения монеты:

  ОО;   ОР;   РР;   РО.  Т.о., n=4.  

Благоприятные исходы:   ОР  и РО. Т.е., m= 2.  

Р=2/4 = 1/2 = 0,5. Ответ: 0,5.

Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи»)

• Пример: Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"?

Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка.

; т.е., n=8; m=1.

Р=1/8= 0,125.

Ответ: 0,125

«Марс»

О

«Юпитер»

О

«Уран»

О

О

О

О

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

О

Р

О

Р

О

Р

Р

Р

n = 2 3

Задачи на «кубики» (игральные кости)

• Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6 k .

Решение: В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:

2 и 6

6 и 2

3 и 5

5 и 3

4 и 4

m= 5 (5 подходящих

комбинаций )

n =36

Р= 5/36 = 0,13(8)

• Пример: Даша дважды бросает игральный кубик. Найдите вероятность того, что сумме у нее выпало 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,14.

Независимые события и закон умножения

• Вероятность нахождения и 1-го, и 2-го, и n-го события находятся по формуле: Р= Р1*Р2*…*Рn

• Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.

• Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
• 1 выстрел: 0,8
• 2 выстрел: 0,8
• 3 выстрел: 0,8
• 4 выстрел: 0,2
• 5 выстрел: 0,2
• По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем:

Р= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

• Пример: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся.

• Результат округлите до сотых.

• Ответ: 0,02.

Сочетания законов «и» и законов «или»

• Пример: Офис закупает канцелярию для сотрудников 3 различных фирм. Причём продукция 1-ой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных 2-х- поровну. Выяснилось, что 2% ручек 2-ой фирмы- бракованные. Процент брака в 1-ой и 3-ей фирме соответственно 1% и 3%. Сотрудник А взял ручку из новой поставки. Найдите вероятность того, что она будет исправна.
• Решение: Продукция 2и 3 фирм составляет (100%-40%):2=30% от поставок.

Р(брака)= 0,4· 0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019.

Р(исправных ручек) = 1- 0,019 = 0,981.

Ответ: 0,981.

Сочетания законов «и» и законов «или»

• Пример: Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
• Решение: Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года». События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю.

• Тогда: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),
• откуда, используя данные из условия, получаем

0,97 = P(A) + 0,89.

• Тем самым, для искомой вероятности имеем:
• P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

• Ответ: 0,08 .

Если количество участников уменьшается (условная вероятность)

• Пример: Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
• Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.

• m=10-1=9; n= 26-1=25 («минус» Руслан Орлов)
• Р= 9/25= 0,36.

Ответ: 0,36.

Вариант 1

• На экзамене по химии школьник отвечает на один случайно выбранный вопрос по теме "Магнитное поле", равна 0,05.Вероятность того, что это вопрос по теме "Электрические явления", равна 0,25.Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику не достанется вопрос по одной из этих двух тем.

• Решение:

• 0.05+0.25=0.3 - вероятность выученных вопросов
• 1-0,3=0.7 - вероятность не выученных

• Ответ: 0.7

Вариант 2

• На экзамене по русскому языку школьник отвечает на один случайно выбранный вопрос вероятность того что это вопрос по теме фонетика равна 0,2 вероятность того что это вопрос по теме лексика равна 0,35 вопросы которые одновременно относятся к этим двум темам нет Найдите вероятность того что на экзамене школьнику не достанется вопрос по одной из этих двух тем

• Решение:

• 0.2 + 0.35 = 0,55
• 1-0,55=0,45 Ответ: 0,45

Вариант 3

• На соревнованиях по стрельбе из лука участвуют 18 спортсменов, в том числе 3 спортсмена из России и 7- из Чехии. Порядок выступлений определяется случайным образом с помощью жребия. Спортсмен из России Петр Гордеев выступает пятым. Четвертым выступает спортсмен из Чехии. Найдите вероятность того, что шестым также выступает спортсмен из Чехии.

• Решение:

• 18-2 =16 - это количество претендентов на 5е выступление. Из них 6 чехов. Вероятность 6/16=3/8=0,375

• Ответ: 0,375

Вариант 4

• На соревнованиях по стрельбе из лука участвуют 26 спортсменов, в том числе 2 спортсмена из России и 4 из Польши. Порядок выступлений определяется случайным образом с помощью жребия. Спортсмен из России Гордей Петров выстурает третьим. Четвертым выступает спортсмен из Польши. Найдите вероятность того, что вторым выступает спортсмен из Польши.

• Решение:

• Всего 26 спортсменов и 26 мест, 2 места заняты(по условию, 3 и 4)
• остается 24 места.
• от Польши осталось 3 спортсмена
• вероятность = 3/24 = 1/8 = 0.125
• Ответ: 0,125

Вариант 5

• В случайном эксперименте 125 элементарных равновозможных событий. Событию А благоприятствует 30 из них. Найдите вероятность события А.

• Решение:
• Решение:
• Решение:
• Решение:
• Решение:
• Решение:
• Решение:
• Решение:
• Вероятность события А можно найти по формуле P=m/n, где m=30 – число благоприятных исходов;
• n=125 – общее число равновероятных исходов.
• Получаем: 30/125=0,24

• Ответ:  0,24.

Вариант 6

• В случайном эксперименте 25 элементарных равновозможных событий. Событию B благоприятствует 3 из них. Найдите вероятность события B

• Решение:

• вероятность наступления В равна
• Р(В) =3/25 = 0,12

• Ответ: 0,12.

Вариант 7

• Помещение освещается фонарем с двумя лампочками. вероятность перегорания каждой отдельной лампочки в течение года равна 0,6. лампочки перегорают независимо друг от друга, найдитн вероятность того что в течение года перегорит ровно одна из лампочек

• Решение:

• Обозначим два события:
• A: «в течение года перегорит 1-я лампочка»;
• B: «в течение года перегорит 2-я лампочка».
• Так как лампочки перегорают независимо друг от друга, то события A и B независимы. Вероятность перегорания только первой лампочки, равна P(A)∙[1-P(B)], а вероятность перегорания только второй лампочки: [1-P(A)]∙ P(B). Нас интересует возникновение ИЛИ первого исхода ИЛИ второго исхода. (Союз ИЛИ в теории вероятностей соответствует сложению вероятностей). Получаем (для несовместных исходов):Р(А)*[1-P(B)]+[1-P(A)]*P(B)=0,6*(1-0,6)+(1-0,6)*0,6=0,24+0,24=0,48

• Ответ: 0,48.

Вариант 8

•   Вероятность того, что новая батарейка бракованная, равна 0,04 (независимо от других батареек). Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что ровно одна батарейка в упаковке окажется исправной.

• Решение:

• Введем два события,
• А: «первая батарейка в упаковке бракованная»;
• B: «вторая батарейка в упаковке бракованная».
• По условию задания эти события независимы. Вероятность брака только первой батарейки, равна P(A)∙[1-P(B)], а вероятность брака только второй батарейки: [1-P(A)]∙ P(B). Нас интересует возникновение ИЛИ первого исхода ИЛИ второго исхода. (Союз ИЛИ в теории вероятностей соответствует сложению вероятностей). Получаем (для несовместных исходов):
• P(A)∙[1-P(B)]+ [1-P(A)]∙ P(B) =0,04*0,96+0,96*0,04=

• Ответ:  0,0768.

Вариант 9

• Найдите вероятность того, что случайно выбранное двузначное число делится на 11.

• Решение:

• Найдем общее число двухзначных чисел, делящихся на 11. Их можно найти по формуле 11∙n, где n – натуральное число. Имеем:
• 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
• Это число благоприятных исходов и их ровно 9. Общее число исходов (общее число двухзначных чисел от 10 до 99) равно 90. Получаем значение искомой вероятности:

• Ответ:  0,1.

Вариант 10

• Какова вероятность того, что случайно выбранное двузначное число делится на 5

• Решение:

• Всего двузначных чисел 90 (от 10 до 99 включительно) . Двузначных чисел, делящихся на 5 - 18шт. Вероятность : 18/90=1/5=0,2.

• Ответ: 0,2

Вариант 11

•   На складе на одном стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных клавиатур: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. На другом стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных компьютерных мышей: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. Найдите вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут чёрного цвета.

• Решение:

• Введем два события: А – случайно выбранная клавиатура черного цвета; B – случайно выбранная мышь черного цвета. Так как эти события никак не зависят друг от друга, то они независимы. Нас интересует вероятность P(AB)=P(A)∙P(B), то есть, возникновение и события А и события B одновременно. Вероятность события P(A)=30/50=3/5 (так как на 30 черных клавиатур всего приходится 50 клавиатур), а вероятность P(B)=30/50=3/5 (на 30 черных мышей всего приходится 50 различных мышей). Вычисляем искомую вероятность,

• Ответ: :  0,36.

Вариант 12

• На складе на одном стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных клавиатур: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. На другом стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных компьютерных мышей: 30 чёрных, 10 белых и 10 серых. Найдите вероятность того, что случайно выбранные клавиатура и мышь будут одинакового цвета.

• Решение:

• Выделим три несовместных события:
• А – клавиатура и мышь черного цвета;
• B – клавиатура и мышь белого цвета;
• C – клавиатура и мышь серого цвета.
• Вероятность события A равна , так как имеется 30 клавиатур черного цвета из 50-ти возможных и 30 мышей черного цвета из 50-ти возможных. Произведение означает, что выбрана И черная клавиатура И черная мышь.
• Аналогично получаем значения вероятностей:
• В задаче интересует возникновение или события A, или события B, или события C, то есть, нужно вычислить вероятность (при условии, что события несовместны):
• Ответ:  0,44.

Вариант 13

•   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5. Результат округлите до тысячных.

• Решение:

• Каждая грань игральной кости пронумерована от 1 до 6. Следовательно, при бросании трех игральных костей, сумма в 5 очков может получиться при следующих комбинациях:
• 1+1+3
• 1+2+2
• 1+3+1
• 2+1+2
• 2+2+1
• 3+1+1
• то есть имеем 6 благоприятных исходов. Всего возможных комбинаций равно . Таким образом, искомая вероятность, равна:
• .

• Ответ:  0,028.

Вариант 14

• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Результат округлите до тысячных.

• Решение:

• Общее число возможных исходов:6*6*6=216
• Благоприятные исходы (сумма в 6 очков):
• 1 + 1 + 4,
• 1 + 4 + 1,
• 4 + 1 + 1,
• 1 + 2 + 3,
• 1 + 3 + 2,
• 3 + 1 + 2,
• 3 + 2 + 1,
• 2 + 1 + 3,
• 2 + 3 + 1,
• 2 + 2 + 2.
• Всего 10.
• Р=10/216≈0,046 вероятность того, что при броске трёх игральных костей сумма выпавших очков равна 6,

• Ответ: Р(А) ≈0,046

Вариант 15

• На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

• Решение:

• Обозначим через событие А то, что Сене выпадет выученный билет. Число благоприятных исходов для события А равно 50-5=45 (число выученных билетов), всего исходов 50. Следовательно, вероятность события А, равна:
• .

• Ответ:  0,9.

Вариант 16

• На экзамене 20 билетов, Андрей не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

• Решение:

Данную задачу будем решать по формуле:

• Р(А) = m / n
• А – событие, при котором Андрею попадется выученный билет;
• m — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число выученных билетов:
• m = 20 – 1 = 19
• n – общее число всевозможных исходов, оно равно общему количеству билетов:
• n = 20

• Осталось найти вероятность того, что Андрею попадется выученный билет:

• Р(А) = 19 / 20 = 0,95

• Ответ: 0,95

Вариант 17

• На фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран, среди этих стран Россия, Великобритания и Франция. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Франции будет выступать после группы из Англии и после группы из России? Результат округлите до сотых.

• Решение:

• По сути, здесь спрашивается, какова вероятность, что группа из Франции будет выступать последней, на 3-м месте. Так как всего мест 3, а последнее место – одно, получаем искомую вероятность, равную:

• Ответ:  0,33.

Вариант 18

•   На фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран, среди этих стран Швеция, Норвегия и Дания. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Швеции будет выступать после группы из Норвегии, но до группы из Дании? Результат округлите до сотых.

• Решение:

• .
• Здесь получается, что нужно найти вероятность расположения стран участниц в следующем порядке: Норвегия, Швеция, Дания.
• Вероятность выступления Швеции на первом месте, равна 1/3 (так как первое место одно, а всего мест 3).
• Вероятность выступления Швеции на втором месте, равна 1/2, так как считаем, что Швеция уже стоит на 1-м месте и осталось два вакантных места: 2-е и 3-е.
• Наконец, Дания с вероятностью 1 занимает последнее 3-е место, так как только оно и осталось. Искомая вероятность равна произведению всех этих трех событий, то есть,
• Р=1/3*1/2*1=1/6

• Ответ:  0,17.

Вариант 19

•   В чемпионате мира по футболу участвуют 32 команды, в том числе команда Аргентины. С помощью жребия их делят на восемь групп по четыре команды в каждой. Группы называют латинскими буквами от А до Н. Какова вероятность того, что команда Аргентины окажется в группе А?

• Решение:

• Чтобы команда из Аргентины оказалась в группе А, она должна занять одно из 4-х мест в группе А. То есть, имеем число благоприятных исходов m=4, а общее число исходов n=32 (общее число мест). Получаем значение искомой вероятности:
• Р=4/32=1/8=0,125

• Ответ:  0,125.

Вариант 20

• В чемпионате мира по футболу участвуют 32 команды, в том числе команда Египта. С помощью жребия их делят на восемь групп по четыре команды в каждой. Группы называют латинскими буквами от А до Н. Какова вероятность того, что команда Египта окажется в одной из групп G или Н?

• Решение:

• Чтобы команда Египта оказалась в группе G, она должна занять одно из 4-х мест этой группы. Аналогично для группы H – она должна занять одно из 4-х место этой группы. Так как нам не важно в какой из групп (G или H) будет Египет, то имеем число благоприятных исходов m=4+4=8. Общее число исходов, равно n=32. Получаем, значение искомой вероятности:
• Р=8/32=1/4=0,25

• Ответ:  0,25.

Вариант 21

•   Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

• Решение.

• В задаче сказано, что все 20 пазлов распределяются случайным образом среди 20 детей, то есть все пазлы будут распределены. Обозначим через событие A то, что Володе достанется пазл с машиной.
• Число благоприятных исходов для события A равно 6 (всего 6 пазлов с машинами).
• Всего исходов 20, следовательно, искомая вероятность, равна:
• Р=6/20=3/10=0,3.

• Ответ:  0,3.

Вариант 22

• Родительский комитет закупил 15 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 12 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 15 детьми, среди которых есть Миша. Найдите вероятность того, что Мише достанется пазл с машиной.

• Решение.

• В задаче сказано, что все 15 пазлов распределяются случайным образом среди 15 детей, то есть все пазлы будут распределены.
• Обозначим через событие A то, что Мише достанется пазл с машиной.
• Число благоприятных исходов для события A равно 12 (всего 12 пазлов с машинами).
• Всего исходов 15, следовательно, искомая вероятность, равна:
• Р=12/15=4/5=0,8
• .

• Ответ:  0,8.

Вариант 23

• Два автомобилиста, независимо друг от друга, выезжают из пункта А в пункт В. Навигатор предлагает каждому из них 4 равноценных маршрута, и автомобилисты выбирают маршрут случайным образом. Найдите вероятность того, что автомобилисты выберут один и тот же маршрут.

• Решение.

• Допустим, первый автомобилист по навигатору случайным образом выбрал какой-то маршрут (из 4-х возможных).
• Тогда, чтобы второй автомобилист выбрал этот же маршрут, навигатор должен выбрать его, то есть, имеем число благоприятных исходов m=1.
• Всего же равновероятных исходов n=4. Получаем значение искомой вероятности:
• Р=1/4=0,25

• Ответ:  0,25.

Вариант 24

• Два автомобилиста, независимо друг от друга, выезжают из пункта А в пункт В. Навигатор предлагает каждому из них 10 равноценных маршрутов, и автомобилисты выбирают маршрут случайным образом. Найдите вероятность того, что автомобилисты выберут различные маршруты.

• Решение.

• Пусть первый автомобилист выбрал один из 10 маршрутов.
• Следовательно, чтобы второй не выбрал такой же маршрут, его навигатор должен случайным образом выбрать один из 9 оставшихся.
• Таким образом, имеем число благоприятных исходов m=9 и общее число исходов n=10:
• Р=9/10=0,9

• Ответ: 0,9.

Вариант 25

•   В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

• Решение.

• Пусть событие А означает, что первым стартует спортсмен из России. Число благоприятных исходов для события А – это число спортсменов из России, то есть 13. Всего исходов (всего спортсменов) равно 13+2+5=20. Таким образом, вероятность события А, равна:
• .

• Ответ:  0,65.

Вариант 26

• В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

• Решение.

• Обозначим через событие А то, что спортсмен из России будет стартовать первым.
• Число благоприятных исходов для события А равно 11, так как из России участвует 11 спортсменов.
• Всего возможных исходов равно 11+6+3=20 – общее число спортсменов.
• Таким образом, вероятность события А, равна:
• Р=11/20=0,55.

• Ответ:  0,55.

Вариант 27

• В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек, из них 37 красные, 8 зелёные, 17 фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или чёрная ручка.

• Решение.

• Обозначим через событие А выбор черной ручки,
• а через событие В – выбор красной ручки.
• Число исходов, благоприятных для события А равно (100-(37+8+17))/2=19,
• то есть имеется 19 черных ручек.
• Число благоприятных исходов для события В равно 37.
• Учитывая несовместность событий А и В (нельзя одновременно выбрать и черную и красную ручки), вероятность того, что произойдет или событие А или событие В, равно сумме вероятностей этих событий, то есть:
• Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,19+0,37=0,56

• Ответ:  0,56.

Вариант 28

• В магазине канцтоваров продаётся 112 ручек, из них 17 красные, 44 зелёные, 29 фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или чёрная ручка.

• Решение.

• Обозначим через событие А выбор черной ручки,
• а через событие В – выбор красной ручки.
• Число исходов, благоприятных для события А равно
• (112-(17+44+29))/2=11,
• то есть имеется 11 черных ручек.
• Число благоприятных исходов для события В равно 17.
• Всего исходов 112.
• Учитывая несовместность событий А и В (нельзя одновременно выбрать и черную и красную ручки), вероятность того, что произойдет или событие А или событие В, равно сумме вероятностей этих событий, то есть:
• Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 11/112+17/112=28/112=1/4=0,25

• Ответ:  0,25.

Вариант 29

• Игральную кость бросают дважды найдите вероятность того что оба раза выпало число меньше 4

• Решение.

• Для начала найдём, какие из событий нас устраивают.
• В задаче сказано, что число должно быть меньше 4, значит нас устраивают цифры 1,2,3, таким образом нас устраивают только 3 случая.
• Всего на кубике 6 цифр. Вероятность выпадения числа меньше 4 равна: 3/6=1/2 - вероятность при одном броске; Чтобы найти вероятность при двух бросках, нужно вероятность при одном броске умножить на саму себя: (1/2)*(1/2)=1/4
• ; Ответ: 0,25

Вариант 30

• В случайном эксперименте бросают 2 игральные кости. найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5 или 6

• Решение.

• Вероятность того, что, бросив игральную кость дважды, сумма выпавших очков будет равна 5 или 6, рассчитаем по формуле:
• Р = m / n,
• где m — количество благоприятных исходов (m = 9 исходов:
• 1 - 4,
• 2 - 3,
• 3 - 2,
• 4 - 1;
• 1 - 5,
• 2 - 4,
• 3 - 3,
• 4 - 2,
• 5 - 1),
• n — количество всех возможных исходов (n = 36 исходов, 36 = 6 * 6).
• Р = m / n = 9 / 36 = 0,25

• Ответ: 0,25

Вариант 31

•   В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

• Решение.

• Обозначим через событие А выбор исправного фонарика.
• Так как в среднем 4 фонарика из 100 неисправны, то исправных фонариков равно 100-4=96, что составляет число благоприятных исходов для события А.
• Всего исходов равно 100, получаем значение вероятности:
• Р=96/100.

• Ответ:  0,96.

Вариант 32

•   В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

• Решение.

• Обозначим через событие А выбор исправного фонарика.
• Число благоприятных исходов для события А равно 150-6=144 (среднее число исправных фонариков).
• Всего возможных исходов, равно 150, следовательно,
• Р(А)=144/150=0,96.

• Ответ:  0,96.

Вариант 33

• У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

• Решение.

• Обозначим через событие А то, что бабушка наливает чай в чашку с синими цветами.
• Число благоприятных исходов для события А равно 20-15=5 (так как только 5 чашек с синими цветами), всего исходов 20 (общее число чашек).
• Следовательно, вероятность события А, равна:
• Р(А)=5/20=0,25.

• Ответ: 0,25.

Вариант 34

• У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

• Решение.

• Так как чашек с синими цветами ровно 20-10=10 штук, а всего чашек 20, то вероятность выбора наугад чашки с синими цветами, будет равна
• Р(А)=10/20=0,5.

• Ответ:  0,5.

Вариант 35

• На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки, 3 с мясом, 3 с капустой и 4 с вишней. Саша наугад берёт один пирожок, Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней

• Решение. Пусть событие А означает выбор пирожка с вишней.

• Всего пирожков с вишней 4 штуки – это благоприятное число исходов для события А.
• Всего возможных исходов равно 3+3+4=10.
• Следовательно, вероятность события А, равна:
• P(A) = 4/10 = 0,4

• Ответ:  0,4

Вариант 36

• На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 5 с капустой и 6 с вишней. Дима наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

• Решение. Пусть событие А означает выбор пирожка с вишней.

• Всего пирожков с вишней 6 штук – это благоприятное число исходов для события А.
• Всего возможных исходов равно 4+5+6=15.
• Следовательно, вероятность события А, равна:
• P(A) = 6/15 = 0,4

• Ответ:  0,4

СПАСИБО

ЗА ВНИМАНИЕ!

Используемые материалы :

• http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge - Материалы открытого банка заданий по математике 2017 года

• ОГЭ 2019. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/под ред. Ященко И. В ..-М.:Издательство» национальное образование», 2019 г.

• http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина
• http:// www.schoolmathematics.ru
• https://vk.com/mat24 - В.В. Прилепова «Теория вероятности в ОГЭ и ЕГЭ»

• Рязановский А.Р., Д.Г. Мухин ОГЭ 2017. Математика. Основной государственный экзамен. Теория вероятностей и элементы статистики. - М. Издательство «Экзамен», 2017.

http:// self-edu.ru

• презентация Софиной Н.Ю. (МБОУ «Гимназия №4

им. А.С. Пушкина»)