Исследовательский проект на тему: "Золотое сечение"

Золотое сечение

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

ИЗ ИСТОРИИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ.

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода

жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель – служить

хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте.

На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или

иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней

Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную

ветвь науки – эстетику.

Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени

даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту

в истине.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними

общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно,

если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы

красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка

ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?

"Формул красоты" уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают

правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду

и т.д. В пропорциях сооружений отдаются предпочтение целочисленным соотношениям.

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических

произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными

свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым

сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

На протяжении веков золотая, или «божественная», пропорция зачастую принимала

мистический смысл, многие ученые, изучавшие ее, возводили ее значение в абсолют, не раз

она становилась основой для спекуляций. Однако, обо всем по порядку.

Считают, что деление отрезка в отношении Золотой пропорции открыл великий Пифагор в VI

веке до нашей эры. Однако, пропорции пирамиды Хеопса, барельефов из гробницы Тутанхамона

свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями Золотого деления задолго

до Пифагора. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что пропорции фигур на рельефе,

изображающем фараона Рамзеса, соответствуют величинам Золотого деления

Зодчий Хесира, изображенный на рельефе гробницы держит в руках измерительные инструменты,

В которых зафиксированы пропорции Золотого деления.

Греки и римляне не только стали широко использовать Золотое деление архитектуре и

скульптуре, но и пытались как-то объяснить, почему оно производит наилучшее эстетическое впечатление. Исследованием Золотого сечения занимались Платон (IV-III в. до н.э.), Евклид (III в. до н.э.), Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и другие.

Число, называемое золотым сечением (равное примерно 1,62 и обозначаемое как ф), входит в тройку самых известных иррациональных чисел, то есть таких чисел, десятичные представления которых бесконечны и не периодичны. Остальные два числа: это π — отношение длины окружности к диаметру и е — основание натуральных логарифмов.Число ф обладает целым рядом очень интересных и даже исключительных свойств. Так, например, ф является единственным положительным числом, которое переходит в обратное ему при вычитании единицы

Многие математики, жившие в средние века и в эпоху Возрождения, были настолько увлечены исследованием необычайных свойств числа ф, что это даже походило на легкое помешательство. Примером могут служить слова Кеплера: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — теорема Пифагора, другое — деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно назвать мерой золота, втрое же больше напоминает драгоценный камень». В эпоху Возрождения отношение, выражаемое числом ф, называли «божественной пропорцией» или, следуя Евклиду, «средним и крайним отношением».В средние века изучение золотого сечения было продолжено. Так, оно обогатилось работами Леонардо Пизанского, прозванного Фибоначчи(род.ок. 1170 – умер после 1228), выдающегося итальянского математика XIII века. Создав бесконечный ряд, в котором каждое следующее число является суммой двух предыдущих (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…), он установил, что соотношение соседних чисел близко к пропорции золотого сечения. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда

всегда  будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Введение: Что такое золотое сечение…

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b= c : d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

- на две равные части – АВ : АС= АВ : ВС;

- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда АВ : АС= АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b= b : c или с : b= b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC= 1/2 AB; CD= BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE= 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ= 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1= 0

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения

Золотая пропорция и золотая спираль в природе

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции.

Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее (см. гербарии).

Золотая пропорция

в пропорциях человеческого тела

Тело человека и золотое сечение

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы. 3

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

• расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Золотое сечение в анатомии человеческого тела

То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определённой пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре.

Сечение выражает среднестатистический закон : деление тела точкой пупа-один из основных показателей золотого сечения. Немецкий профессор Цейзинг в середине 18 столетия проделал огромную работу : он измерил более 2000 тел и высказал предположение , что золотые пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча , предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

• Высота лица / ширина лица,

• Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

• Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

• Ширина рта / ширина носа,

• Ширина носа / расстояние между ноздрями,

• Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

ПАРФЕНОН

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисторозовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно j. Отношения целого ряда частей Парфенона дают число j. Говорят «… у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции …».

Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов.

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...
На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Выводы:

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей

жизни.

• Доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого

  • сечения линией пояса .

• Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

• Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

• Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

• На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

• Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

• Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»

• Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

• Определяя зону золотого сечения в музыкальных произведениях, мы убедились, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого.

• Многие современные изделия с прямоугольными гранями имеют форму граней,

  • близкую к «золотому сечению».

• Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта - всё это

  • подчинено общему закону - "золотому сечению".

• Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их

  • асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Причем соотношение длины

  • коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618

• золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов

  • природы.

ГАПОУ КО «ККСД»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

“ О ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ ” .

Автор работы: Михайлова Ирина группа ПИ-21

Руководитель: преподаватель математики высшей квалификационной

категории

Филимонова Ольга Николаевна