Использование методов математического анализа при решении олимпийских задач по математике

Matematikadan olimpiada masalalarini Yechishda matematik analiz metodlaridan foydalanish

X.R.Umarov

oʻqituvchi, Guliston davlat universiteti

G.X.Rahmatullayeva

talaba, Guliston davlat universiteti

umarovhr@mail.ru

Annotatsiya: Ushbu maqolada matematikadan olimpiada masalalarini yechishda matematik analizning ba’zi metodlaridan foydalanish usullari koʻrsatib berilgan.

Kalit soʻzlar: olimpiada masalalari, mantiqiy fikrlash, matematik analiz, differensial hisob, eng katta qiymat, eng kichik qiymat.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРИ РЕШЕНИИ ОЛИМПИЙСКИХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Аннотация: В статье рассматриваются использование некоторых методов решения олимпиадных задач по основ математического анализа. Некоторые задачи - подготовительного характера. Работа ориентируется на начинающего математика-студента первых курсов и ученика старших классов средней школы.

Ключевые слова: олимпийские проблемы, логическое мышление, математический анализ, дифференциальное исчисление, наибольшее значения, наименьшее значения.

USE OF METHODS OF MATHEMATICAL ANALYSIS IN SOLVING OLYMPIC PROBLEMS IN MATH

Annotation: The article shows the use of some methods for solving Olympiad problems on the basics of mathematical analysis. Some of the tasks are preparatory. The work is focused on a beginning mathematician-student of the first year and a student of the upper secondary school.

Key words: Olympic problems, logical thinking, mathematical analysis, differential calculus, largest value, smallest value.

KIRISH

Ta’lim muassasalarida matematika oʻqitishning asosiy vazifasi oʻquvchi yoshlarni vatanga sadoqat, yuksak ahloq, ma’naviy boylikka ega boʻlish va mehnatga vijdonan munosabatda boʻlish ruhida tarbiyalashga qaratilgan. Ta’limning insonparvar boʻlishiga erishish, hozirgi zamon bozor iqtisodiyoti sharoitlarini hisobga olib har bir jamiyat a’zosini mehnat faoliyati va kundalik hayoti uchun zarur matematik bilim, koʻnikma va malakani berishdan iborat.

Soʻnggi yillarda xalqaro olimpiadalarda bilimli, iqtidorli yoshlarimiz muvaffaqiyati yildan-yilga yaxshilanib bormoqda. Biz yoshlarimizni bundan ham yuqori natijalarga erishib, davlatimiz obroʻ–e’tiborini yanada oshiradi degan umiddamiz. Bizning maqsadimiz yosh avlodni layoqati, qobiliyati, iqtidorini aniqlash, ochish va ularning rivojlanishi uchun imkoniyat yaratishdan iboratdir.

Zero, olimpiada masalalari elementar va oliy matematikaning eng jozibador masalalar toʻplamidir. Olimpiada masalalari oʻquvchini chuqur fikrlashga, oʻz ustida ishlab, iqtidorini-malakasini takomillashtirishga, boy ijodiy tafakkurga ega boʻlishga, qat’iyatli inson boʻlishga va qaror qabul qila olishga oʻrgatadi.

Ma’lumki, olimpiada masalalari oʻquvchilarni mantiqiy fikrlash bilan birga oʻz xulosalarini asoslashga undaydi. Masalalarni yechish davomida oʻquvchilar nazariy bilimlarni takrorlaydi va uni amaliy jihatdan qoʻllash koʻnikmasiga ega boʻladi. Matematikadan olimpiada masalalarini yechishda matematik analiz metodlaridan foydalanishni oʻrganish va ulardan foydalanish yoʻllarini topish oʻquvchilarni matematikaga boʻlgan qiziqishlarini orttiradi. Ushbu ishda differensial hisobning tatbiqlarini keltirishni maqsad qilib oldik.

Adabiyotlar tahlili va metodologiyasi

Mazkur maqola mazmuni va mavzusiga oid dastlabki ma’lumotlarni T.Azlarov, H.Mansurov [3] va Mal Coad va boshqalarning [4] adabiyotlaridan topish mumkin. Matematika analizning metodlaridan foydalanib yechish mumkin boʻlgan matematik olimpiada misol va masalalarni M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismailov [1] va H. Norjigitov, J.A. Bahramovlarning [2] adabiyotlaridan topish mumkin.

Maqola matematikadan olimpiada masalalarini echishda matematik analiz metodlarining roli va oʻrnini koʻrsatib berishga bagʻishlangan. Bunda asosiy diqqat differensial hisobning asosiy teoremalariga qaratilgan.

NATIJALAR

Differensial hisobning asosiy teoremalari yordamida yechiladigan masalalar. Biz bu bandda funksiya hosilasini bir nechta masalalarga tatbiqini keltiramiz.

1-masala. Agar , , boʻlsa, boʻlishini isbotlang.

Isboti. Agar yoki boʻlsa, tengsizlikni tenglik sharti bajariladi. Shuning uchun faqat holatni qaraymiz va

ekanini inobatga olamiz. Ushbu funksiyani tuzamiz:

, , .

U holda , boʻladi. boʻlgani uchun funksiya oʻsuvchi. Shuning uchun .

Bundan boʻladi. qilib tanlasak

tengsizlikka ega boʻlamiz.

2-masala. ning hech bir qiymatida tenglama beshta butun yechimga ega boʻla olmasligini isbotlang.

Isboti. Ushbu funksiyani tuzamiz: .

Bu funksiya butun sonlar oʻqida aniqlangan va .

1). tenglamani yechamiz. Bundan

va

kelib chiqadi.

2). tenglamani yechamiz.

, va .

3). Funksiya grafigini yasaymiz. (1-rasm)

1-rasm

Funksiyaning monotonlik oraliqlari beshta:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Shuning uchun toʻgʻri chiziq funksiyani koʻpi bilan beshta nuqtada kesishi mumkin. monotonlik oraligʻida yagona butun son bor.

Demak, boʻlgandagi tenglama koʻpi bilan beshta butun yechimga ega boʻlishi mumkin.

tenglama esa va butun yechimlarga ega. Bu holat tenglama beshta butun yechimga ega emasligini bildiradi.

Funksiya hosilasini ba’zi murakkab masalalariga tadbiqlari. Ushbu bandda funksiya hosilasining ba’zi murakkab masalalar yechishga tatbiqlarini koʻrib chiqamiz.

1-teorema. toʻgʻri toʻrtburchakda ixtiyoriy nuqta olingan boʻlib, , , boʻlsa, u holda

a) ;

b)

tengliklar oʻrinli boʻladi.

Isbot. nuqtadan , kesmalarni oʻtkazamiz (1-chizma). Aytaylik, , boʻlsin. nuqta toʻrtburchakda boʻlganligi uchun , boʻladi. Pifagor teoremasiga koʻra:

.

Ushbu belgilashni kiritib olib, quyidagi ikki holni koʻrib chiqamiz.

2-rasm

1-hol. yoki boʻlsin. Bu holda

boʻlganligi sababli faqat ni oʻrganish yetarli. funksiyani oraliqda boʻyicha birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblaymiz:

.

boʻlgani uchun funksiya oraliqda oʻsuvchi. Shuning uchun tenglama oraliqda koʻpi bilan bitta yechimga ega boʻlishi mumkin. boʻlgani sababli, yagona yechim dan iborat boʻladi. Demak, funksiya kesmada kamayuvchi, kesmada esa oʻsuvchi boʻladi. Bunga asosan quyidagi tengliklarga ega boʻlamiz:

, .

2-hol. boʻlsin. Bu holda oʻzgaruvchini tayinlab, funksiyani boʻyicha birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblaymiz:

,

.

Yuqorida qilingan ishlarni takrorlab, ushbu

tengliklarni hosil qilamiz.

Endi ushbu

,

yordamchi funksiyalarni kiritib olamiz. Bu funksiyalar uchun va larni hisoblaymiz. Shu maqsadda, oraliqda, va funksiyalarning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini hisoblaymiz:

,

,

,

.

Bu ifodalardan boʻlganida , va , kelib chiqadi. Demak, va funksiyalar funksiyalar nuqtada oʻzining eng kichik qiymatlariga erishadi, kesmaning chetki nuqtalarida esa eng katta qiymatlarga erishadi, xususan

,

boʻladi. Birinchi va ikkinchi hollarni hisobga olsak, a) va b) tengliklar kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.

Natija. Agar boʻlsa, ushbu

,

Tengliklar, boʻlsa, quyidagi

,

tengliklar oʻrinli boʻladi.

1-masala. Yuzasi boʻlgan – qavariq toʻrtburchakning , , , tomonlarida mos ravishda , , , nuqtalar shunday olinganki, bunda

.

toʻrtburchak yuzasining eng kichik qiymatini toping.

Yechish. Aytaylik, boʻlsin. U holda

, ,

,

boʻladi. Bularga asosan quyidagilarga ega boʻlamiz (2-chizma):

, .

Bundan ushbu tenglik kelib chiqadi: .

Xuddi shuningdek, tenglikka ega boʻlamiz.

Demak,

.

3-rasm

Oxirgi ifodaning eng kichik qiymatini topish maqsadida ushbu , funksiyani kiritib olamiz va uning eng kichik qiymatini topamiz. Buning uchun avvalo uning hosilasini hisoblaymiz:

.

Bu ifodaga binoan tenglamaning yagona yechimi boʻlib, oraliqda va oraliqda boʻladi. Bu esa funksiyaning eng kichik qiymati ga teng ekanini bildiradi. Demak, toʻrtburchak yuzasining eng kichik qiymati ga teng boʻlib, bu qiymat yuqoridagi nisbat 1 ga teng boʻlganda, ya’ni , , , nuqtalar toʻrtburchak tomonlarining oʻrtalarida boʻlganida erishiladi.

2-masala. Agar – musbat sonlar boʻlsa, u holda ixtiyoriy , sonlari uchun ushbu

(1)

tengsizlik oʻrinli boʻladi.

Isbot. Quyidagi funksiyani qaraymiz:

, .

Bunda – oʻzgarmas sonlar. Bu funksiyaning hosilasini hisoblab, boʻlgani uchun boʻlishini, ya’ni funksiya oʻsuvchi boʻlishini topamiz. Demak, har qanday , – nomanfiy sonlar uchun , ya’ni

(2)

tengsizlik oʻrinli. Umumiylikka zid ish qilmagan holda deb olib, , deb tanlasak, u holda (2) tengsizlik quyidagi koʻrinishga keladi:

.

Bu tengsizlikning chap va oʻng tomonlarida shakl almashtirishlar bajarib, (1) tengsizlikni hosil qilamiz.

Endi (1) tengsizlikni ba’zi xususiy hollarni keltirib oʻtamiz.

1. Agar , boʻlsa, ushbu tengsizlik hosil boʻladi:

.

2. Agar , boʻlsa, ushbu tengsizlik hosil boʻladi:

MUHOKAMA

Ushbu ishda matematikadan olimpiada masalalarini yechishda matematik analiz metodlaridan foydalanishni oʻrganish va ularga doir turli masalalarning yechish uslubiyati koʻrib chiqildi. Olimpiada masalalarini yechishda matematik analiz foydalanish usullari oʻrganildi va ularni olimpiada masalalarini yechishga tatbiq qilish uslubiyati koʻrsatib berildi.

XULOSA

Matematikadan olimpiada masalalarini yechishda matematik analiz metodlaridan foydalanishni oʻrganish va ulardan foydalanish yoʻllarini topish oʻquvchilarni matematikaga boʻlgan qiziqishlarini orttiradi, matematik analiz fanining oʻquv materialini chuqurroq va kengroq oʻrganish imkoniyatini yaratadi. Ushbu ish oʻquvchilarning bilimlarini va matematikaga boʻlgan qiziqishlarini oshiradi hamda oʻquvchilarni matematikadan olimpidaga tayyorlashda toʻgarak rahbarliriga bu ishning katta yordami tegadi, degan umiddamiz.

ADABIYOTLAR RO’YXATI

1. Mirzaahmedov, M., Ismailov, Sh. (2016). Matematikadan qiziqarli va olimpiada masalalari. I qism. Turon-Iqbol.

2. Norjigitov, H., Bahramov, J. (2014). Matematik olimpiada masalalarini yechish uchun qoʻllanma.

3. Azlarov, T., Mansurov, H., (2005). Matematik analiz asoslari. O’zMU nashriyoti.

4. Mal Coad, (2010). Mathematics for the international students. Haese and Harris publocations.