Հավանականությունների տեսություն

ä³ï³ÑáõÛÃÇ

ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ

¸³ëÇ Ýå³ï³ÏÁ

• ¶³Õ³÷³ñ áõÝ»Ý³É å³ï³ÑáõÛÃÇ, å³ï³ÑáõÛÃÇ Ñ³í³Ý³Ï³ÝáõÃÛ³Ý Ù³ëÇÝ, ϳñáÕ³Ý³É ·ñ³Ýó»É ïñí³Í å³ÛÙ³ÝÝ»ñÇÝ µ³í³ñ³ñáÕ µáÉáñ Ñݳñ³íáñ ï³ñµ»ñ³ÏÝ»ñÁ, ï³É ݳËÝ³Ï³Ý å³ïÏ»ñ³óáõÙ »ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ Ñ³í³Ý³Ï³Ý µÝáõÛÃÇ ՝ ѳí³ëïÇ Çñ³¹³ñÓáõÃÛáõÝ ¨ ³ÝÑݳñ Çñ³¹³ñÓáõÃÛáõÝ, Ù³ëÇÝ :

• γñáÕ³Ý³É µ³½Ù³ÏÇ »Éù áõÝ»óáÕ Çñ³¹ñáõÃÛáõÝÝ»ñáõÙ ·ïÝ»É Ñݳñ³íáñ »Éù»ñÁ ¨ ¹ñ³ÝóÇó ÁÝïñ»É ѳٳå³ï³ë˳ÝáÕ »Éù»ñÁ, Ñݳñ³íáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ, ѳßí»É å³ï³ÑáõÛÃÇ Ñ³×³Ë³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, å³ï³ÑáõÛÃÇ Ñ³í³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳٻٳï»É ÷áñÓÝ³Ï³Ý ïíÛ³ÉÝ»ñÇó ëï³óí³Í ѳ׳˳ϳÝáõÃÛ³Ý Ñ»ï:

• êï³ó³Í ·Çï»ÉÇùÝ»ñÁ ÏÇñ³é»É ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë:

гí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³Ý ÑÇÙùáõÙ å³ï³Ñ³Ï³Ý ÷áñÓÇ ·³Õ³÷³ñÝ ¿: ²ÛÝ µ³½ÙÇóë ÏñÏÝ»ÉÇ ·áñÍáÕáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ÉÇñ ¿, áñÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõ٠ѳݹ»ë ¿ ·³ÉÇë Ñݳñ³íáñ »Éù»ñÇó Ù»ÏÁ:

úñÇÝ³Ï 1. Ü»ïáõÙ »Ýù Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÁ

áõ ï»ëÝáõÙ, û Ýñ³ áñ ÏáÕÙÝ

¿ ÁÝÏÝáõÙ í»ñ` ½ÇݳÝß³±ÝÁ,

û ÃÇíÁ:

²Ûëï»Õ å³ï³Ñ³Ï³Ý ÷áñÓÁ Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÇ Ù»Ï Ý»ïáõÙÝ ¿:

²ÛÝ Ï³ñáÕ ¿ áõÝ»Ý³É »ñÏáõ »Éù` § ½ÇݳÝß³Ý ¦ (¼) , ϳ٠§ÃÇí¦ (Â) :

ä³ï³Ñ³Ï³Ý ÷áñÓÇ Ñ»ï ϳåí³Í áñ»õ¿ Çñ³¹³ñÓáõÃÛáõÝ, áñÁ ÷áñÓÇ ³ñ¹ÛáõÝùáõ٠ϳñáÕ ¿ ï»ÕÇ áõݻݳÉ, ϳÙ` áã, ÏáãíáõÙ ¿

å³ï³ÑáõÛÃ:

úñÇÝ³Ï 2. Ü»ïáõÙ »Ýù ˳ÕáëÏñÁ (½³éÁ): ºÝó¹ñ»Ýù ó³ÝϳÝáõÙ »Ýù, áñ µ³óíÇ 3 ÃÇíÁ:

1, 2, 3, 4, 5, 6 ÙdzíáñÝ»ñÇó Ûáõñ³ù³ÝãÛáõñÇ µ³óí»ÉÁ ѳí³ë³ñ³Ñݳñ³íáñ ¿ /³ÛÉ ¹»åù»ñ Ñݳñ³íáñ ã»Ý/:

3 ÃíÇ µ³óí»Éáõ P ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ѳí³ë³ñ ¿

P=

³ÛëÇÝùÝ ïíÛ³É å³ï³ÑáõÛÃÇÝ

Ýå³ëïáÕ »Éù»ñÇ ÃíÇ (1)

ѳñ³µ»ñáõÃÛ³ÝÁ µáÉáñ

Ñݳñ³íáñ »Éù»ñÇ ÃíÇÝ (6):

ÀݹѳÝñ³å»ë

A å³ï³ÑáõÛÃÇ Ñ³í³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝ

³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³Û¹ å³ï³ÑáõÛÃÇÝ Ýå³ëïáÕ »Éù»ñÇ m ÃíÇ Ñ³ñ³µ»ñáõÃÛáõÝÁ µáÉáñ Ñݳñ³íáñ »Éù»ñÇ n ÃíÇÝ`

P=

ʳÕáëÏñÁ (½³éÁ) Ý»ï»ÉÇë 7 Ùdzíáñ µ³óí»Éáõ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0 ¿, ù³ÝÇ áñ ³Û¹ å³ï³ÑáõÛÃÇÝ Ýå³ëïáÕ ¹»åù»ñ ãϳÝ` P= =0:

ä³ï³ÑáõÛÃÁ, áñÇ Ñ³í³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 0 ¿, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ³ÝÑݳñ å³ï³ÑáõÛÃ:

ʳÕáëÏñÁ (½³éÁ) Ý»ï»ÉÇë 1, 2, 3, 4, 5, 6 ÙdzíáñÝ»ñÇó áñ»õ¿ Ù»ÏÇ µ³óí»Éáõ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ`

P=

ù³ÝÇ áñ, ïíÛ³É å³ï³ÑáõÛÃÇÝ Ýå³ëïáÕ »Éù»ñÇ ÃÇíÁ ѳí³ë³ñ ¿ 6 ( m =6):

ä³ï³ÑáõÛÃÁ, áñÇ Ñ³í³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ 1 ¿, ³Ýí³ÝáõÙ »Ý ѳí³ëïÇ å³ï³ÑáõÛÃ:

Ø»Í Ãí»ñÇ ûñ»ÝùÁ

Þ³ï ·ÇïݳÏÝÝ»ñ ÷áñÓ³ñ³ñ³Ï³Ý

»Õ³Ý³Ïáí ëïáõ·»É »Ý ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛ³Ý

ѳëï³ïáõÝáõÃÛ³Ý ÷³ëïÁ:

üñ³ÝëdzóÇ ÄáñÅ ÈáõÇ ¹Á ´ÛáõýáÝÁ

4040 ³Ý·³Ù Ý»ï»É ¿ Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÁ:

ä³ï³Ñ³Ï³Ý ÷áñÓ»ñÇ ³Û¹ ß³ñùáõÙ §½ÇݳÝÇߦ ÁÝÏ»É ¿ 2048 ³Ý·³Ù:

20-ñ¹ ¹³ñÇ ëϽµÇÝ ³Ý·ÉdzóÇ Î³ñÉ

öÇñëáÝÁ ϳï³ñ»É ¿ 24 000 ³Û¹åÇëÇ

÷áñÓ³ñÏáõÙ, áñáÝóÇó 12012 ¹»åùáõÙ

ÁÝÏ»É ¿ §½ÇݳÝÇߦ:

ºñÏáõ ¹»åùáõÙ ¿É ëï³óí»É ¿ _ ÇÝ ß³ï Ùáï ÃÇí:

§¼ÇݳÝÇߦ ÁÝÏÝ»Éáõ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ`

P=

гí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛáõÝÁ ͳ·»É ¿ ÙÇçÇÝ ¹³ñ»ñáõÙ:

Üñ³ áõëáõÙݳëÇñáõÃÛ³Ý ³é³ñÏ³Ý ëϽµÝ³å»ë »Õ»É ¿ Ùáɳ˳ջñÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝÁ:

¼³é³Ë³ÕÇÝ í»ñ³µ»ñáÕ ûñÇݳã³÷áõÃÛáõÝÝ»ñÝ ³é³çÇÝ ³Ý·³Ù áõëáõÙݳëÇñ»É »Ý ѳÛïÝÇ Ù³Ã»Ù³ïÇÏáëÝ»ñ äÇ»é ü»ñÙ³Ý, ´É»½ ä³ëϳÉÁ, øñÇëïÇ³Ý ÐÛáõ·»ÝëÁ:

гí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³ÝÁ í»ñ³µ»ñáÕ ³é³çÇÝ Ù»Ý³·ñáõÃÛáõÝÁ å³ïϳÝáõÙ ¿ Ú³Ïáµ ´»éÝáõÉÇÇÝ, áí ³ÝÏ³Ë å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛáõÝÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ ³å³óáõó»É ¿ Ù»Í Ãí»ñÇ ûñ»ÝùÁ:

ijٳݳϳÏÇó ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÝ»ñÇ ï»ëáõÃÛ³ÝÁ ³ùëÇáÙ³ïÇÏ³Ý ïí»É ¿ éáõë ٳûٳïÇÏáë ÎáÉÙá·áñáíÁ:

ÊݹÇñÝ»ñ

1. ºÝó¹ñ»Ýù Ùáé³ó»É »Ýù Ù»ñ ÁÝÏ»ñáç Ñ»é³Ëáë³Ñ³Ù³ñÇ í»ñçÇÝ ÝÇßÁ: àñù³±Ý ¿ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñ å³ï³Ñ³Ï³Ý ÁÝïñ³Í ÃÇíÁ ÏÉÇÝÇ

áñáÝ»ÉÇ ÝÇßÁ:

ÈáõÍáõÙ`

ø³ÝDZ Ãí³Ýß³Ý áõÝ»Ýù:

Øáé³ó»É »Ýù í»ñçÇÝ ÝÇßÁ, áõñ»ÙÝ` m =?

n=10

2. 3 ϳñÙÇñ, 9 ϳݳ㠷ݹ³Ï å³ñáõݳÏáÕ ³ñÏÕÇó å³ï³Ñ³Ï³Ýáñ»Ý ѳÝí»É ¿ Ù»Ï ·Ý¹³Ï: àñù³±Ý ¿ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñ ѳÝí»É ¿ ϳñÙÇñ ·Ý¹³Ï:

ÈáõÍáõÙ`

Ðݳñ³íáñ µáÉáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ` n=3+9=12

Üå³ëï³íáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ` m=3

3. Ø»ï³Õ³¹ñ³ÙÁ Ý»ï»É »Ý »ñÏáõ ³Ý·³Ù: àñù³±Ý ¿ »ñÏáõ § ½ÇݳÝß³Ý ¦ µ³óí»Éáõ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ:

ÈáõÍáõÙ`

Ðݳñ³íáñ µáÉáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ` ¼¼ ¼Â ¼ ÂÂ

n=4

Üå³ëï³íáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ` m=1

¸³É³Ùµ»ñÇ ë˳ÉÁ

àñù³±Ý ¿ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñ »ñÏáõ ³Ý·³Ù Ý»ïí³Í Ù»ï³Õ³¹ñ³ÙÁ, »ñÏáõ ³Ý·³ÙÝ ¿É ÏÁÝÏÝÇ ÝáõÛÝ ÏáÕÙÇ íñ³:

¸³É³Ùµ»ñÇ ³é³ç³ñÏ³Í ÉáõÍáõÙÁ

¼¼  ¼Â

n=3

m=2

P=2/3

ÖÇßï ÉáõÍáõÙÁ`

Ðݳñ³íáñ µáÉáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ` ¼¼ ¼Â ¼ ÂÂ

n=4

Üå³ëï³íáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ` m=2

4. ²ñÏÕáõ٠ϳ »ñ»ù Ëáñ³Ý³ñ¹`ë»õ, ϳñÙÇñ ëåÇï³Ï: ä³ï³Ñ³Ï³Ýáñ»Ý ѳݻÉáí Ëáñ³Ý³ñ¹ÇÏÝ»ñÁ ¹³ë³íáñáõÙ »Ýù Ù»ÏÁ ÙÛáõëÇ »ï»õÇó: àñù³±Ý ¿ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñ Ïëï³óíÇ Ï³ñÙÇñ, ë»õ, ëåÇï³Ï ѳçáñ¹³Ï³ÝáõÃÛáõÝ:

ÈáõÍáõÙ`

1 2 3

1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 21

Ðݳñ³íáñ µáÉáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ`

n=6

Üå³ëï³íáñ »Éù»ñÇ ù³Ý³ÏÁ ÏÉÇÝÇ ` m=1

öáñÓÇñ ѳßí»É

1. §Ø³Ã»Ù³ïÇϳ¦ µ³éÇó å³ï³Ñ³Ï³Ýáñ»Ý ÁÝïñáõÙ »Ý Ù»Ï

ï³é: àñù³±Ý ¿ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñ ³Û¹ ï³éÁ ÏÉÇÝÇ §Ù¦ ï³éÁ:

2. ØÇ ûñ ³·é³íÁ ³Ýï³éáõÙ ·ï³í å³ÝÇñ, ÙÇ Ïïáñ »ñßÇÏ, ßáÏáɳ¹, ÁÝÏáõÛ½ áõ å³ùëÇÙ³ï: Âé³í, Ýëï»ó ͳéÇ ×ÛáõÕÇÝ áõ áñáß»ó ݳ˳׳߻É, µ³Ûó Ùïù»ñÇ Ù»ç ÁÝϳí: ¶áõó» û·Ý»Ýù, ѳßí»Ýù, û áñù³±Ý ¿ ѳí³Ý³Ï³ÝáõÃÛáõÝÁ, áñ »ñÏáõ ëÝݹ³ÙûñùÇó ϳ½Ùí³Í ݳ˳ßÇÝ ³·é³íÁ »ñßÇÏ ÏáõïÇ:

سûٳïÇÏ³Ý Ã³·áõÑÇÝ ¿ µáÉáñ ·ÇïáõÃÛáõÝÝ»ñÇ...

Î. ¶³áõë

²Ý¹ñ³¹³ñÓ

ºë ó³ÝϳÝáõÙ ¿Ç É³í ³ß˳ï»É, µ³Ûó ÇÝã-áñ µ³Ý ÇÝÓ Ë³Ý·³ñ»ó:

ºë ³Ûëûñ É³í ³ß˳ï»óÇ, »ë ·áÑ »Ù ÇÝÓÝÇó:

ºë ³Ûëûñ É³í ³ß˳ï»óÇ, µ³Ûó ϳñáÕ ¿Ç ³í»ÉÇ É³í ³ß˳ï»É:

ßÝáñÑ³Ï³É áõÃÛáõÝ

9

+

3

0

6

2

1

6