Эсо "стереометрия"

Урок по теме касательная плоскость к сфере. Площадь сферы.

Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, площади сферы, научить решать задачи по данной теме.

Ход урока

1. Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация опорных знаний.

Повторение сведений из планиметрии.

1. Определение касательной.

2. Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.

3. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

1. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

2. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

3. Взаимное расположение сферы и плоскости.

1. Объяснение новой темы.

Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.

Рассмотрим последний случай подробнее.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.

К
асательная плоскость обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Дано: сфера с центром О и радиусом R, α - касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA а.

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а, тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R. Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а.

Докажем обратную теорему.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA, а, OA а.

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а, то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

1. Формирование умений и навыков учащихся.

1. Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).

Решение: CN²=h(h + 2R) (см. выше п. I урока)

Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м, R_земли 6400 км.

Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.

1. Решение задач.

1. О
   трезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см. Радиус шара 8 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.

Решение.

АК _ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = _= 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)

AM = АО-ОМ=9.

1. Итог урока.

2. Домашнее задание: _____________

Урок по теме: «Объем шара»

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.
А.С. Пушкин.

Проводя уроки с компьютерной поддержкой, можно использовать уже имеющиеся материалы (СD). Работа становится разнообразнее, красочней, эмоциональней. Но на таких уроках ученик остаётся в позиции объекта обучения. Современные технологии позволяют нам поставить ученика в позицию активно действующего и использующего свои знания и умения человека.

Подготовка к таким урокам начинается с поиска темы и постановки учебной цели. Когда проблема обозначена, формируется творческая группа. Составляется план действий и распределяются обязанности. Практика показывает, что в свою работу группа может вовлекать новых людей и даже менять первоначальный план. Результатом такой работы будет публичное выступление на уроке или на внеклассном мероприятии. На уроках геометрии учащиеся 11 класса познакомились с различными способами вывода формул объёма цилиндра и конуса (из формулы объёма призмы и пирамиды и с использованием определённого интеграла). Естественно возник вопрос о возможности получения формулы для нахождения объёма шара без применения определённого интеграла. Проблема «Кто поможет шару?» заинтересовала две творческие группы, и в результате появились две презентации и два варианта интерактивного теста. Первая презентация создана с использованием программ трёхмерного моделирования 3ds Max, программ интерактивной анимации Flash MX, а также, была оптимизирована в операционной системе Windows (приложение 1). В создании второй презентации использованы программы: Microsoft Power Point – 2003, Macromedia Flash MX ver 6, 3 ds Mas ves 5, HTML, Asdsee (приложение 2).

Вашему вниманию предлагаю вариант урока, на котором можно использовать творческую работу ребят. Все авторы уже закончили школу и учатся в академии и университете.

Цели:

1 Обобщить понятие «тело вращения».
2 Повторить формулы для вычисления объёмов: цилиндра и конуса. 
3 Получить формулу объёма шара, шарового сегмента, шарового сектора.
(самостоятельные исследования учащихся).
4 Выполнение практической работы по определению объёмов тел.
5 Проверить представления учащихся о телах вращения (интерактивный тест).
6 Развитие познавательного интереса.
7 Воспитание активной жизненной позиции.

План урока.

1. Организационный момент 1 мин.
2. Повторение 5 мин.
3. Изучение нового 5 мин.
4. Практическая работа 10 мин.
5. Работа с тестом 10 мин.
6. Решение задачи 6 мин.
7. Подведение итогов 4 мин.

1. Объявление темы и целей урока.

Тема: «Объём шара».

Цели: Работа с формулами, позволяющими находить объёмы тел вращения.

Выполнение практической работы по определению объёмов.

2. Демонстрируя соответствующие слайды (приложение 2) ученик напоминает учащимся, как, используя формулы, можно определить объёмы конуса, цилиндра и усечённого конуса.

Обращает внимание слушателей на названия и обозначение элементов, составляющих тела вращения.

3. Продолжая показ презентации, второй ученик объясняет, как можно получить формулу для вычисления объёма половины шара.

Можно доказать, что если совпадают радиус шара, радиус и высота цилиндра, то площади заштрихованных фигур равны между собой, а значит объём половины шара совпадает с разностью объёмов цилиндра и вписанного в него конуса.

Вывод. Объём шара можно найти, если известен его радиус.

4. Практическая работа: (слайд №12) «Вычисление объёмов тел вращения».

Учащиеся получают модели цилиндра, конуса и шара.

Задание: Выполнить необходимые измерения и вычислить объёмы полученных моделей. Результаты занести в тетрадь.

Измерения и вычисления проверяю на уроке, использую таблицу и учитываю погрешность измерений, объявляю результат каждому выполнившему работу.

5. После получения результата учащиеся занимают место у компьютера, и авторы теста помогают им начать тестирование.

Если класс большой и одновременно всех учащихся обеспечить компьютерами невозможно, то два этапа урока 4 и 5 можно объединить, и пока одни дети выполняют практическую работу, другие могут заняться тестом. Но в любом случае на этом этапе урока без помощи учащихся и сотрудничества не обойтись

Тест: «Тела вращения»

1. Сколько диаметров у сферы?

А.1. Б.2. В.3. Г. бесконечно много.

2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

А. отрезком Б. окружностью В. кругом Г. сферой.

3. Пересечение дуг больших кругов шара это

А. центр сферы Б. диаметр сферы В. радиус сферы Г. большой круг.

4. Если радиус сферы увеличить в 2 раза то объём увеличиться

А. в 2 раза Б. в 4 раза В. в 8 раз Г. в 16 раз.

5. В формуле V=4/3p R³ V-объём

А. шара Б. конуса В. цилиндра Г. шарового сектора.

6. Конус можно получить, если вращать вокруг стороны

А. равносторонний треугольник Б. тупоугольный треугольник.

В. остроугольный треугольник Г. прямоугольный треугольник.

7. Плоскость может разделить шар на

А. сегменты Б. секторы В. сферы Г. круги

8. Площадь поверхности шара (сферы) Уменьшили в 9 раза. Объём уменьшиться в

А. 3 раз. Б. 9 раз В. 27 раз Г.81 раз.

9. У цилиндра осей симметрии.

А. нет Б.1. В. 2 Г. бесконечно много.

10. У конуса плоскостей симметрии

А. нет Б.1. В. 2 Г. бесконечно много.

Результаты тестирования всех учащихся заносятся в журнал.

6. Практическую работу и тест дети завершают за разное время, и как только появиться первый прошедший оба испытания,слайд с номером 12 на экране сменит слайд с номером 14.

Задача Пифагора: «В каком отношении находятся объёмы: цилиндра и вписанного в него шара?»

Когда большая часть класса ознакомиться с содержанием задачи, решение задачи обсуждается и демонстрируется.

7. В конце урока, когда все работы завершены, дети заняли свои места и на доске оставлен чертёж последней задачи, учителю стоит сказать: «Знаменитый учёный, чьё имя сохранилось не в веках, а в тысячелетиях, очень гордился решением этой задачи и завещал высечь над своей могилой шар, вписанный в цилиндр. Воля учёного была исполнена. Говорят этот камень, с выбитым на нём чертежом, можно увидеть и в наши дни.

Итог урока: На нашем занятии встретились современные технологии и формулы, проверенные тысячелетиями истории человечества.

Архимед строил свои чертежи на песке. Сегодня новые “Архимеды” строят свои чертежи с помощью компьютеров.

А домашнее задание мы запишем ручками в дневники.

Дома: §22 уметь отвечать на вопрос 4, решить задачи №24,№29.

Желающие провести собственное расследование и выступить на уроке могут обратить внимание на вопросы 5 и 6.

Литература.

1. Г.И. Глейзер «История математики в школе».

2. Э.Т. Белл «Творцы математики».

3. Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11».

4. А.В. Погорелов «Геометрия 7-11».

При подготовке урока использовались диски:

1. «Живая геометрия»

2. «Кирилл и Мефодий».

Презентация.

Составлена учащимися 11 класса.

Цели урока:

образовательные:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Тела вращения”;

• вывести формулу объема шара.

Воспитательные:

• показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;

• показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.

Развивающие: совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Оборудование: учебник геометрии 10–11класс, автор Л.С. Атанасян; компьютер; мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.

1. Цилиндр.

2. Конус.

3. Усеченный конус.

4. Шар.

2) Проверка творческой домашней работы. Презентации учащихся по решению задач с открытого банка ЕГЭ, типа В9.

III. Изучение новой темы.

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.)

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).

Теорема: Объем шара равен 

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять объемы тел с помощью интегральной формулы. V= 

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.

(Учитель объясняет вывод формулы объема шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях.)

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис. 178).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим

Так как S(x)=пr² ,то S(x)=п(R²-x²).

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

Физкультминутка (для глаз).

IV. Формирование умений и навыков учащихся.

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Задача (Архимеда):

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти: отношение объемов цилиндра и шара.

Ответ: 1,5.

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде.)

Задачи из ЕГЭ (В9):

1. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение: (Опираемся на открытие Архимеда.)

Ответ: 12

2. Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара S₁ = 4пR², стала S₂ = 4пR²/9 = 4п (R/3)² = 4пr²

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V₁= 4/3 ПR³, а объем V₂= 4/3 пr³ = 4/3 п(R/3)³ =4/3 пR³ /27 = V₁ / 27.

Ответ:27

V. Итог урока.

Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

Домашнее задание.

______________________________________________

Презентация по геометрии

Тема : Круглые геометрические тела

Выполнили : Демчишина Анна

Вечера Валентина Руководитель проекта: Григорюк В.П.

МОУ Гимназия Восточных Языков №4, 10 класс.

Содержание

• Цилиндр
• Конус
• Сфера
• Исторические факты
• Это интересно
• Авторы

Цилиндр- тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами.

Боковая поверхность- цилиндрическая поверхность

Основание- круги

Образующие- Образующие цилиндрической поверхности

Ось- прямая ОО1

Радиус- радиус основания

Высота- длина образующей

Виды сечений :

• Осевое

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра ,то сечение представляет собой прямоугольник ,две стороны которого образующие, а две другие- диаметры оснований цилиндра

• Круговое

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон

Площадь поверхности цилиндра

• Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. S=2πr(r+h) Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. S=2πrh
• Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. S=2πr(r+h)
• Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
• За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. S=2πrh

Историческая справка про цилиндр

• ЦИЛИНДР..
• Слово "цилиндр" происходит от греческого kylindros , что означает "валик", "каток".

Конус - Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей.

Коническая поверхность- боковая поверхность конуса

Основание -круг

Образующие конуса- образующие конической поверхности

Ось -прямая, проходящая через центр основания и вершину конуса

Виды сечений :

• Осевое- Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Основание которого-диаметр основания конуса, а боковые стороны-образующие конуса
• Круговое- Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение является кругом

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Площадь поверхности конуса

• Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания S=πr(l+r)

• Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую . S=πrl

• За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Основные формулы

Историческая справка про конус

• ЦИЛИНДР.. Слово "цилиндр" происходит от греческого kylindros , что означает "валик", "каток". КОНУС.
• Латинское слово conus заимствовано из греческого языка (konos - затычка, втулка, сосновая шишка). В XI книге "Начал" даётся следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Евклид рассматривает только

• Сфера - Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
• Радиус -отрезок, соединяющий центр с любой точкой сферы
• Диаметр -отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр.
• Хорда -отрезок соединяющий любые две точки сферы.

Площадь сферы

• За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. S=4πR ^2

Касательная плоскость к сфере

• Касательная плоскость к сфере- плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.
• Точка касания- их общая точка

Теорема : Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема : Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере

Историческая справка про сферу

• Однако оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Пифагорейцы учили о существовании десяти сфер Вселенной, по которым якобы двигаются небесные тела. Они утверждали, что расстояния этих тел друг от друга пропорциональны интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривали элементы мировой гармонии. В подобных полумистических рассуждениях заключалась пифагорова "музыка сфер". Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Луне, Солнцу, Земле и всем мировым телам. Развивая взгляды Евдокса, он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники. В XI книге "Начал" Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом.

Это интересно

• Водовзводная башня
• Водовзводная башня была построена в 1488 году. Прежнее название башни - Свиблова - связано с располагавшимся рядом двором боярина Свиблова. В 1633 году в башне была устроена водонапор-ная машина для перекачки воды в резервуар, расположенный на верху башни. Через трубы вода расходилась по всему Кремлю. В 1805-1806 годах башня была разобрана и сложена вновь по проекту архитектора И.В.Еготова. В 1812 году башня была взорвана французами, а в 1819 году восстановлена под руководством О.И.Бове. Высота башни до звезды - 57,7 метра, со звездой - 61,25 метра. Башня представляет собой цилиндр. В разрезе башня круглая.
•  

• Кривоарбатский переулок, дом 10. Два огромных белых цилиндра, прислоненных друг к другу. По периметру - шестьдесят небольших ромбовидных окон, создающих образ улья. На фасаде - гигантское, в несколько метров окно. Над окном надпись: "Константин Мельников. Архитектор". Самая знаменитая (даже культовая) постройка 20-х годов в Москве. Константин Степанович Мельников родился в Москве в семье рабочего-строителя, выходца из крестьян, в 1890 г. Окончив приходскую школу, он работал "мальчиком" в фирме "Торговый дом Залесский и Чаплин". Чаплин помог ему поступить в 1905г. B Московское училище живописи, ваяния и зодчества, а затем после окончания Мельниковым в 1913г. живописного отделения посоветовал продолжить обучение на Архитектурном отделении, которое Константин Степанович окончил в 1917г. На старших курсах Училища и в первые годы после его окончания Мельников работает в духе неоклассики. Однако уже в начале 20-х годов Константин Степанович резко порывает с различного рода традиционалистскими стилизациями. Сам факт широкой реализации его произведений заставляет по-иному отнестись и к тем его произведениям, которые остались в проектах и которые в 20-е годы в острой полемике того периода нередко объявляли "фантастическими". В проектах Мельникова поражает степень раскованности творческой фантазии мастера в вопросах формообразования. Можно с полной уверенностью сказать, что в XX в. не было другого архитектора, который создал бы столько принципиально новых проектов и такого уровня новизны, что их оригинальность не только сильно оторвала их от работ других мастеров, но и столь же сильно отличала и от работ самого их автора.
•  

Пизанская башня

Пизанскую башню начали строить в 1174 году. Она задумывалась как колокольня расположенного рядом Домского собора. Уже во время строительства, в 1298 году, выяснилось, что фундамент сооружения заложили криво. Кроме того, оказалось, что протекающая неподалеку подземная река смещает почвенные пласты и усиливает падение здания. Чтобы уменьшить скорость падения, архитекторы предложили изменить наклон её верней части. В результате к 1350 году, когда колокольню наконец достроили, она получилась не только наклонной, но и кривой. Однако падать Пизанская башня не перестала - к 1550 году отклонение её вершины от вертикали достигло уже 3,8 метра. После этого процесс падения несколько замедлился, однако к концу XX века вершина башни отклонилась от своего нормального положения уже на 4,7 метра.

• Гигантский шар в игрушечном городе
• Это - космический корабль "Земля", расположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА в штате Флорида. По задумке эта сферическая конструкция должна олицетворять будущее человечества.
•  
•  

• Обман зрения в Праге
• Так в Праге оформили вход на станцию "Малостранска". Кольца соединены таким образом, что создаётся иллюзия того, что мы видим сферу хотя на самом деле, кольца лежат в одной плоскости.
•  

Авторы

• Демчишина Анна
• Вечера Валентина

Призма (параллелепипед ). Основные понятия

Преподаватель математики

Вахитова С.Р

Цель урока: познакомиться с одним видом многогранников – призмой, проиллюстрировать изученные понятия связанные со взаимными расположениями прямых и плоскостей на примере параллелепипеда.

Параллелепипед

1. Поверхность составленная из двух равных параллелограммов и четырех параллелограммов называется параллелепипедом.

Обозначается ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 .

2. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед называются гранями .

• Их стороны – ребрами
• вершины параллелограмма – вершины параллелепипеда.
• 2 грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называются смежными .
• Не имеющих общих ребер – противоположные.
• Две вершины не принадлежащие одной грани называются противоположными .
• Отрезок соединяющий противоположные вершины называются диагональю параллелепипеда (параллелепипед имеет 4 диагонали).
• Выделяют какие – нибудь две противоположные грани и называют их основаниями , остальные – боковые грани параллелепипеда.
• Ребра параллелепипеда не принадлежащие основаниям называют боковыми ребрами.

Свойства параллелепипеда

1 . Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой по полам.

Доказательство:

Рассмотрим A 1 D 1 СВ, диагонали которых А1С и D 1В диагонали параллелепипеда А1В 1 ll D С, А1В 1 = D С

А1В 1D С – параллелограмм, т.е. А1С и D 1В в точке О делятся пополам.

Дано: ABCD A 1 B 1 C 1 D 1

Доказать: Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой по полам

А1 D1 СВ

А1 D1 ll СВ, А1 D1 =СВ

А1 D1 СВ – параллелограмм, т.е. А1С и D1 В в точке пересечения делятся пополам, но D В 1 по А в точке О делятся пополам, т.е. А1С, D1 В, В D1 - пересекаются в точке О и делятся пополам

А D1 С1В

D1C1 ll АВ, D1C1 =АВ

Но серединой А1С D В1 – является точка О, т.е. А1С, D1 В, АС и D В1 – пересекаются в точке О и делятся пополам.

• Домашнее задание:
• Стр. 32 вопрос 15, сделать развертку параллелепипеда.

ЦИЛИНДР

Если в одной из 2 параллельных плоскостей взять окружность, и из каждой ее точки восстановить перпендикуляр до пересечения со второй плоскостью, то получится тело, ограниченное двумя кругами и поверхностью, образованной из перпендикуляров, это тело называется цилиндром .

Привести пример другого определения цилиндра.

ЦИЛИНДР (продолжение)

Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований –называются образующими цилиндра.

Поверхность, состоящая из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра.

основание

Боковая поверхность

образующая

основание

Объем цилиндра

V=S ОСН H=πR 2 H

R- радиус

H- Высота

Формула объёма цилиндра через объём призмы.

КОНУС

КОНУС – тело, ограниченное конической поверхностью с замкнутой направляющей и плоскостью α , не проходящей через вершину S и пересекающей все образующие

образующие

ось конуса

основание

ОБЪЕМ КОНУСА

V=1/3S ОСН H=1/3 ∏ R 2 H

R – радиус основания

H – высота

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС

Усеченный конус – тело, полученное в результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

V=1/3∏H(R 2+ r 2+ Rr)

R, r – радиусы оснований

H – высота

ШАР и СФЕРА

• Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящимся на заданном расстоянии от данной точки

Шар

• Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки

Сфера

O – центр сферы и шара

R – радиус сферы и шара

ОБЪЕМ ШАРА

V= 1/3* S СФЕРЫ R = 4/3 * ∏ R 3

, где h = OP

Формулы

ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА

V=πR 2 H

ОБЪЕМ КОНУСА

V=1/3 ∏ R 2 H

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

V=1/3∏H(R2+r2+Rr)

ОБЪЕМ ШАРА

V=4/3 * ∏R 3

Пройти тестирование

Задача

Дано: в цилиндр вписан шар

Найти: отношение объёмов цилиндра и шара

Авторы:

• Чернышев Кирилл
• Галкин Куприян
• Макаренков Юрий
• Ялтонский Александр

Куратор проекта Шульгина О.И.