Бенефис квадратного уравнения

Определение:

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах² + bx +c = 0,
где коэффициенты a,b,c – любые действительные числа, где а .

а – первый или старший коэффициент.
b – второй коэффициент.
c – свободный член.

Квадратное уравнение полное

Приведенное квадратное уравнение

ах² + bx +c = 0

х²+

Неполное квадратное уравнение

a, b = 0, c = 0
ax² = 0
x = 0

a, b, c = 0
ax² +bx = 0
x(ax+b)=0

a, b = 0, c
ax² +c =0
x² = -
x_1,2 =, 

Вопросы:

1. Какие уравнения называются квадратными?

2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?

3. Какие уравнения называются приведенными?

4. Какие бывают неполные квадратные уравнения?

5. Описать методы решения неполных квадратных уравнений.

Квадратное уравнение: ax² + bx + c =0

Дискриминант: D = b² – 4ac.

Алгоритм решения квадратного уравнения общего вида

Условие

Решение

D

Уравнение не имеет корней

D = 0

Уравнение имеет один корень: x = -.

D

x₁ = , x₂ =.

Вопросы:

1. Запишите общую формулу квадратного уравнения.

2. Что такое дискриминант?

3. Какая зависимость между знаком дискриминанта и количеством решений квадратного уравнения?

4. Запишите формулу корня уравнения, если D = 0.

5. Запишите формулу корня уравнения, если D

Приведенное квадратное уравнение: x² + px + q =0

Дискриминант: D = p² – 4q.

Теорема Виета для приведенного уравнения:

«Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену»:

x₁ + x₂ = - р; x₁x₂ = q

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:

x₁ + x₂ = -; x₁x₂ = 

Обратная теорема Виета:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁ + x₂ = - р; x₁x₂ = q, 
то эти числа – корни уравнения  x² + px + q =0.

Вопросы:

1. Запишите формулу приведенного квадратного уравнения.

2. Чему равен дискриминант приведенного квадратного уравнения?

3. Сформулируйте теорему Виета для приведенного квадратного уравнения.

4. Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения общего вида.

5. Сформулируйте обратную теорему Виета.

Биквадратное уравнение: ax⁴ + bx² + c = 0

Алгоритм решения

1.

Сделать замену переменной:

x² = t

2.

Получится:

at² + bt + c = 0

3.

Найти корни квадратного уравнения:

t_1,2 = 

4.

Обратная подстановка:

5.

Если tk
Если tk 0
Если tk = 0

Корней нет
x = 
x = 0

Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений.

Вопросы:

1. Покажите общий вид биквадратного уравнения.

2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения.

3. сколько корней может иметь биквадратное уравнение?