Видеоурок «Простейшие дифференциальные уравнения» для 11 класса

До сих пор рассматривались уравнения, в которых неизвестными являлись числа. Однако в математике и её приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции.

Примером является задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости v (t), которая сводится к решению уравнения s' (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, а s (t) — искомая функция.

Так, дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит производную неизвестной функции.

Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого постоянная однозначно определяется.

Рассмотрим пример.

Решение многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения y' = ky, где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции y = Ce^kx, где C — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Рассмотрим задачу о размножении бактерий.

К решению дифференциального уравнения также сводится задача о радиоактивном распаде.

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например, колебательные движения маятника, струны, пружины и т. д.; к ним относятся процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем, и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения y'' = ˗ω²y.

Далее будут выполнены несколько заданий, которые помогут закрепить новые знания на практике.

В завешение занятия подводятся итоги. Итак, мы узнали, какие уравнения называют дифференциальными. Рассмотрели задачу о размножении бактерий, а также задачу о радиоактивном распаде. Поговорили о гармонических колебаниях.