Видеоурок по математике «Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям»

Многие математические задачи сводятся к решению уравнений. Некоторые из уравнений вы уже научились решать по правилам, формулам, алгоритмам.

Одним из основных методов решения уравнений является метод сведения одного уравнения к другому, способ решения которого известен. Таким методом является метод замены переменной. Цель метода: свести сложное уравнение к более простому путём введения новой переменной.

Рассмотрим этот метод на примере решения уравнения.

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, называется биквадратным.

Биквадратные уравнения относятся к целым рациональным уравнениям.

Целыми рациональными уравнениями называются уравнения, у которых в левой и правой частях — только многочлены.

Например, уравнения (x — 2)² — 5(x — 2) + 6 = 0, 2(x² — x)² — 5(x² — x) — 3 = 0, 4x² — 7|x| + 3 = 0 являются целым рациональным. Решим эти уравнения.

Уравнение (x — 2)² — 5(x — 2) + 6 = 0 решаем двумя способами.

Сначала, выполнив тождественные преобразования, получим квадратное уравнение. Определим коэффициенты этого уравнения. Найдём дискриминант. Так как он больше нуля, найдём корни, применив формулы корней квадратного уравнения.

Затем решим это уравнение методом замены переменной. Для этого двучлен (x — 2) обозначим через t. Выполним подстановку и получим квадратное уравнение. Решив его и выполнив обратную замену, найдём корни данного уравнения.

Далее будет выполнено несколько заданий. Это поможет закрепить навыки решения целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям, методом замены переменной.

В завешение занятия предлагается выполнить задание самостоятельно.