Определение:
Функцию, заданную формулой , называют степенной функцией с натуральным показателем, где x - независимая переменная, а n - натуральное число.
Например:
Существуют два случая степенной функции: с чётным показателем и с нечётным показателем.
Рассмотрим пример: найти на рисунке степенные функции с чётным показателем и с нечётным показателем.
С чётным показателем:
С нечётным показателем:
Определение:
Областью определения любой степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.
Рассмотрим случай, когда n - чётное число. График выглядит так:
Опишем свойства этой функции:
1. Если x=0, то y=0.
2. Если x≠0, то y>0, т.к. чётная степень как положительного, так и
отрицательного числа положительна.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
4. Функция возрастает и убывает на промежутке:
5. При любых значения аргумента функция принимает неотрицательные значения. Областью значений является:
Рассмотрим случай, когда n - нечётное число (n>1).
График выглядит так:
Опишем свойства этой функции:
1. Если x=0, то y=0. Ноль в любой степени равен нулю.
Если x>0, то y>0.
Если x<0, то y<0.
2. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
4. Функция возрастает на всей области определения, принимая любые значения.
5. Областью значений является:
Рассмотрим пример: сравнить значения выражений:
Показатель степени у обоих выражений одинаковые. Рассмотрим график степенной функции с нечётным показателем:
На рисунке изображен график степенной функции с нечётным показателем, функция возрастает на всей области определения. В данном случае при любых значениях аргумента из множества всех действительных чисел, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим пример: сравнить значения выражений:
Показатель степени у обоих выражений нечётный, т.е большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим пример: сравнить значения выражений:
Рассмотрим график:
Показатель степени у обоих выражений чётный, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пример.
Сравнить значения выражений:
Данные значения принадлежат промежутку возрастания, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Пример.
Определить, принадлежат ли графику функции точки А(2,16), В(3,9), С(-1,1).
Точка А.
Значит, точка А принадлежит графику функции.
Точка Б.
Значит, точка Б не принадлежит графику функции.
Точка С.
Значит, точка С принадлежит графику функции.