Четность и нечетность функций

Вопросы занятия:

·  повторить такое свойство функции, как чётность и нечётность.

Материал урока

Прежде давайте вспомним свойства функций, о которых мы уже говорили. Это: область определения функции, область значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства функции, промежутки монотонности функции.

Для того чтобы мы могли говорить о чётности, еще раз давайте повторим, что мы понимаем под областью определения функции.

Определение.

Область определения функции – это все значения, которые может принимать аргумент.

Теперь вспомним, что

Теперь давайте разберёмся с этим определением по подробней. Первым условием является то, что область определения функции должна быть симметрична относительно икс равного нулю. Что это значит? Это значит, что если число А принадлежит области определения, то и число минус А тоже принадлежит области определения этой функции.

Выполним задание:

Пример.

Второе условие чётности говорит о том, что:

Если посмотреть на график чётной функции, то можно увидеть, что он будет симметричен относительно оси ординат.

Если же нарушается первое условие, то есть область определения функции – не симметричное относительно x = 0 множество, то такая функция не обладает свойством чётности.

Теперь давайте вспомним какую функцию называют нечётной.

Если мы посмотрим на график нечётной функции, то нетрудно увидеть, что он симметричен относительно начала координат.

Мы с вами уже рассмотрели некоторые элементарные функции, их свойства и графики. А теперь давайте попробуем определить какие из этих функций являются чётными, нечётными, ни чётными, ни нечётными.

Итак, начнём с прямой пропорциональности. Область определения прямой пропорциональности – вся числовая прямая, то есть говорить о чётности или нечётности, мы можем. Подставим вместо х -x и получим, что y(-x) = -y(x), то есть прямая пропорциональность – нечётная функция.

Если мы посмотрим на графики прямой пропорциональности, то увидим, что эти графики симметричны относительно начала координат.

Теперь давайте рассмотрим обратную пропорциональность.

Область определения этой функции – симметричная относительно x = 0 область, то есть говорить о чётности или нечётности этой функции можно.

Подставим вместо х -х и получим, что y(-x) = -y(x), то есть обратная пропорциональность – нечётная функция.

Следующей мы рассмотрим линейную функцию.

Область определения функции – вся числовая прямая, то есть область определения – симметричное множество. Подставим вместо х -х, тогда получим что:

То есть линейная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим функцию y = │x│.

Область определения этой функции – вся числовая прямая. То есть можно проверить эту функцию на чётность и нечётность. Подставим вместо х -х. По свойству модуля:

Тогда получим, что функция игрек равно модуль икс – чётная функция.

Теперь поговорим о функции у = х².

Область определения – вся числовая прямая.

Подставим вместо х -х. По свойству квадрата выражения, получим, что:

то есть функция чётная.

Рассмотрим квадратичную функцию.

Область определения – вся числовая прямая.

Подставим вместо х -х и получим, что:

то есть квадратичная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Теперь давайте рассмотрим функцию:

Область определения функции – промежуток [0; + ∞) – это не симметричное относительно точки x = 0 множество, то есть мы сразу можем написать, что о чётности или нечётности этой функции говорить нельзя.

Теперь давайте рассмотрим функцию y = x³. Область определения – вся числовая прямая. Подставим вместо x -x и получим, что:

то есть перед нами нечётная функция.

Теперь давайте решим несколько заданий.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили такое свойство функций как чётность. Вспомнили какая функция называется чётной, а какая – нечётной.