Теорема тангенсов (методический материал)

В тригонометрии, теорема тангенсов[1] — это теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам. На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Теорема тангенсов утверждает, что Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или два угла и одна сторона.

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201-74), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.[2][3]

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.[4]

Доказательство теоремы тангенсов.

По теореме синусов:

a = 2*R*sin(A)

b = 2*R*sin(B)

Отсюда следует:

a+b = 2*R*(sin(A) + sin(B))

a-b = 2*R*(sin(A) - sin(B))

(a+b) /(a-b) = (sin(A) + sin(B)) /(sin(A) - sin(B))

sin(A) + sin(B) = 2*sin((A+B) /2) *cos((A-B) /2)

sin(A) - sin(B) = 2*sin((A-B) /2) *cos((A+B) /2)

(a+b) /(a-b) = sin((A+B) /2) /cos((A+B) /2) * cos((A-B) /2) /sin((A-B) /2)

Но так как sin((A+B) /2) /cos((A+B) /2) = tg((A+B) /2) и cos((A-B) /2) /sin((A-B) /2) = ctg((A-B) /2), то (a+b) /(a-b) = tg((A+B) /2) * ctg((A-B) /2) = tg((A+B) /2) / tg((A-B) /2)

Кроме того, для треугольника выполняется равенство A+B = 180-C, откуда следует, что tg((A+B) /2) = tg((180-C) /2) = tg(90-C/2).

Но по формуле приведения tg(90-X) = ctg(X) и тогда окончательно (a+b) /(a-b) = tg((A+B) /2) / tg((A-B) /2) = ctg(C/2) / tg((A-B) /2)

К слову сказать, данная теорема тангенсов известна еще и как формула Региомонтана...

Доказательство теоремы тангенсов

По теореме синусов:

a = 2*R*sin(A)
b = 2*R*sin(B)

Отсюда следует:

a+b = 2*R*(sin(A) + sin(B))
a-b = 2*R*(sin(A) - sin(B))

(a+b)/(a-b) = (sin(A) + sin(B))/(sin(A) - sin(B))

sin(A) + sin(B) = 2*sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)
sin(A) - sin(B) = 2*sin((A-B)/2)*cos((A+B)/2)

(a+b)/(a-b) = sin((A+B)/2)/cos((A+B)/2) * cos((A-B)/2)/sin((A-B)/2)

Но так как sin((A+B)/2)/cos((A+B)/2) = tg((A+B)/2) и
cos((A-B)/2)/sin((A-B)/2) = ctg((A-B)/2), то

(a+b)/(a-b) = tg((A+B)/2) * ctg((A-B)/2) = tg((A+B)/2) / tg((A-B)/2)

Кроме того, для треугольника выполняется равенство A+B = 180-C,
откуда следует, что tg((A+B)/2) = tg((180-C)/2) = tg(90-C/2).

Но по формуле приведения tg(90-X) = ctg(X) и тогда окончательно

(a+b)/(a-b) = tg((A+B)/2) / tg((A-B)/2) = ctg(C/2) / tg((A-B)/2)

К слову сказать, данная теорема тангенсов известна еще и как
формула Региомонтана.. .