Решение уравнений, сводящихся к квадратному.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СВОДЯЩИХСЯ К КВАДРАТНОМУ

• Дайте определение квадратному

уравнению.

(ах 2 + вх + с = о)

2. Что значит решить уравнение?

3. А как найти корни уравнения?

а = , в = , с =

D = в 2 - 4ас

D 0

нет решения х = -в х 1 = -в-√ D

2а 2 а

х 2 = -в+√ D

2а

0 Х 1 = -1 - √49 = -1- 7 = - 2 2*6 12 3 Х 2 = -1 + √49 = -1 + 7 = 1 2*6 12 2 " width="640"

Решите уравнение:

6х 2 + х – 2 = 0

а=6, в=1, с=-2

D =1 2 - 4*6*(-2)=1+48=49, D 0

Х 1 = -1 - √49 = -1- 7 = - 2

2*6 12 3

Х 2 = -1 + √49 = -1 + 7 = 1

2*6 12 2

9х 4 + 5х 2 – 4 = 0

(5х + 1) 2 + 6(5х + 1) – 7 = 0

(х – 1) 4 – 5(х – 1) 2 + 4 = 0

Определение: уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0 , где а ≠0 , называется биквадратным уравнением

0 t 1 = -5-√169 = -5-13 = -18 = -1 2*9 18 18 t 2 = -5+√169 = -5+13 = 8 = 4 2*9 18 18 9 " width="640"

9х 4 + 5х 2 – 4 = 0,

Т.к. х 4 = ( х 2 ) 2 , то х 2 = t , тогда

9 t 2 + 5 t – 4 = 0

а=9, в=5, с=-4

D = 5 2 – 4*9*(-4) =25 + 144 = 169, D 0

t 1 = -5-√169 = -5-13 = -18 = -1

2*9 18 18

t 2 = -5+√169 = -5+13 = 8 = 4

2*9 18 18 9

Если t 1 = -1, то х 2 = -1

нет решения

Если t 2 = 4 , то х 2 = 4

9 9

х 1 = -√ 4 = - 2

9 3

х 2 = √ 4 = 2

9 3

Ответ : х 1 = - 2 , х 2 = 2

3 3

х 4 – 3х 2 – 4 = 0

Пусть х 2 = m , тогда

m 2 – 3 m – 4 = 0

а = 1, в = - 3, с = - 4

D = (-3) 2 - 4*1*(-4) = 9 +16 = 25

m 1 = 3- √25 = 3-5 = -1 Если m 1 = -1, то х 2 = -1

2*1 2 нет

решения

m 2 = 3+ √25 = 3+5 = 4 Если m 2 = 4, то х 2 = 4

2*1 2 х 1 = -2

х 2 = 2

Ответ: х 1 = -2, х 2 = 2.

Если верно – встать, неверно – хлопать в ладоши

• Уравнение 2х 4 + 3х 3 – 4х=0 биквадратное ?

2. Коэффициенты ур-ия 5х 2 – 3х +1=0

равны а=5,в=-3, с=1 ?

3. Для решения ур-ия 9х 4 +5х 2 -4=0 нужно х 2 – обозначить за t ?

4 . Биквадратное уравнение может иметь 5 корней ?

5. Уравнение х 4 – 3х 2 – 4 = 0 имеет

корни 2 и -2 ?

0 а 1 = -6 - √64 = -14 = -7 2*1 2 а 2 = -6 + √64 = 2 = 1 2*1 2 " width="640"

( 5х + 1 ) 2 + 6( 5х + 1 ) – 7 = 0

Пусть 5х + 1 = а, тогда

а 2 + 6а – 7 = 0

D = 6 2 – 4*1*(-7) = 36 + 28 = 64, D 0

а 1 = -6 - √64 = -14 = -7

2*1 2

а 2 = -6 + √64 = 2 = 1

2*1 2

Если а 1 = -7, то 5х + 1 = -7

5х = -7 – 1

5х = -8

х 1 = -1,6

Если а 2 = 1, то 5х + 1 = 1

5х = 1 – 1

5х = 0

х 2 = 0

Ответ: х 1 =-1,6; х 2 =0.

В – 1 (х – 1) 2 – 5(х – 1) + 4 = 0

(х 1 = 2, х 2 = 5)

В – 2 (х + 3) 2 – 7(х + 3) + 10 = 0

(х 1 = -1, х 2 = 2)

Пусть х - 1 = а, тогда

а 2 - 5а +4 = 0

D =25-16=9

а 1 = 5 - √9 = 1

2*1

а 2 = 5 + √9 = 4

2*1

Если а 1 = 1 , то х-1 =1

х 1 = 2

Если а 2 = 4, то х-1 =4

х 2 = 5

Ответ : х 1 = 2, х 2 = 5.

Пусть х + 3 = m , тогда

m 2 - 7m + 10 = 0

D =49–40=9

m 1 = 7 - √9 = 2

2*1

m 2 = 7 + √9 = 5

2*1

Если m 1 = 2 , то х+3 =2

х 1 = -1

Если m 2 = 5 , то х+3 =5

х 2 = 2

Ответ : х 1 = -1, х 2 = 2.

0 t 1 = 5 - √9 = 1 2*1 t 2 = 5 + √9 = 4 2*1 Если t 1 = 1 , то (х – 1) 2 = 1 Если t 2 = 4 , то (х – 1) 2 = 4 х – 1 =√1 х – 1 = √4 х – 1 =-1 или х – 1 = 1 х – 1 = -2 или х -1 =2 х 1 = 0 х 2 = 2 х 3 = -1 х 4 =3 Ответ: х 1 =0, х 2 =2, х 3 =-1, х 4 =3. " width="640"

(х – 1) 4 – 5(х – 1) 2 + 4 = 0

Пусть (х - 1) 2 = t , тогда

t 2 – 5 t + 4 = 0

D = 5 2 – 4*1*4 = 25 – 16 = 9 , D 0

t 1 = 5 - √9 = 1

2*1

t 2 = 5 + √9 = 4

2*1

Если t 1 = 1 , то (х – 1) 2 = 1 Если t 2 = 4 , то (х – 1) 2 = 4

х – 1 =√1 х – 1 = √4

х – 1 =-1 или х – 1 = 1 х – 1 = -2 или х -1 =2

х 1 = 0 х 2 = 2 х 3 = -1 х 4 =3

Ответ: х 1 =0, х 2 =2, х 3 =-1, х 4 =3.

(х + 5) 4 + 8(х + 5) 2 – 9 = 0

(х + 5) 2 = m , m 2 + 8m – 9 = 0

D = 64 + 36 = 100

m 1 = -9 , m 2 = 1

(х + 5) 2 = -9 и (х + 5) 2 = 1

Нет решения х +5 = -1 и х + 5 = 1

х 1 = -6 х 2 = -4

Ответ: х 1 = -6, х 2 = -4.