Разработка урока по алгебре "Различные способы решения квадратных уравнений"

Цель:

рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

Задачи:

Формировать навык применения различных способов к решению квадратных уравнений.

Развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; познавательный интерес к предмету через систему задач.

Воспитать чувство ответственности за выполненную работу перед коллективом.

Основные этапы урока.

Организационный момент.

Когда уравнение решаешь, дружок,

Ты должен найти у него корешок.

Значение буквы проверить несложно,

Поставь в уравнение его осторожно.

Коль верное равенство выйдет у вас,

То корнем значение зовите тотчас.

О. Севостьянова

Сегодня мы проводим урок по теме "Квадратные уравнения". Нам предстоит узнать различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

1. Вступительное слово учителя.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

2. Сообщения учащихся.

Обратимся к истории: когда впервые встретились квадратные уравнения и как их решали.

Доклад по теме: Как решали квадратные уравнения в древности?

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.

Задача знаменитого индийского математика Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекаясь.

 Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А 12 по лианам.....

Стали прыгать, повисая

Сколько было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

(учащийся приводит решение этой задачи на доске)

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Бхаскара  пишет под видом: x² - 64x = - 768   и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

x² - 64х + 32² = -768 + 1024,

(х - 32)² = 256,

х - 32= ±16,

x₁ = 16, x₂ = 48.

Весь материал - в документе.

Цель: рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

Задачи:

• Формировать навык применения различных способов к решению квадратных уравнений.

• Развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; познавательный интерес к предмету через систему задач.

• Воспитать чувство ответственности за выполненную работу перед коллективом.

Подготовка к уроку:

Группе учащихся из 4 человек предлагается работать над одной из тем:

• Общие способы решения квадратных уравнений.

• Метод "коэффициентов". Метод "переброски".

• Как решали квадратные уравнений в древности?

• Франсуа Виет- французский учёный.

Через неделю учитель заслушивает готовые доклады, вносит коррективы. В ходе урока ребята озвучивают тексты своих докладов.

Основные этапы урока.

Организационный момент.

Когда уравнение решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравнение его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значение зовите тотчас.
О. Севостьянова

Сегодня мы проводим урок по теме "Квадратные уравнения". Нам предстоит узнать различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

1. Вступительное слово учителя.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

2. Сообщения учащихся.

Обратимся к истории: когда впервые встретились квадратные уравнения и как их решали.

Доклад по теме: Как решали квадратные уравнения в древности?

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их   клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г.  Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.

Задача знаменитого индийского математика Бхаскары: 

Обезьянок резвых стая

Всласть  поевши, развлекаясь.
 Их в квадрате часть восьмая
 На поляне забавлялась.
 А 12 по лианам.....
 Стали прыгать, повисая

 Сколько было обезьянок,
 Ты  скажи мне, в этой стае?
(учащийся приводит решение этой задачи на доске)

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Бхаскара пишет под видом: x² - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

x² - 64х + 32² = -768 + 1024,

(х - 32)² = 256,

х - 32= ±16,

x₁ = 16, x₂ = 48.

Формулы решения квадратных уравнений были впервые изложены в 1202г. В Европе итальянским математиком Леонардом Фибоначчи (Леонардо Пизанский, 1180—1240).

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х²+вх+с=0, было сформулировано в Европе лишь 1544 г. немецким математиком Михаэлем Штифелем (1487-1567).

Вывод формулы решения квадратного уравнения   в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Вопрос учителя: дайте определение квадратного уравнения.

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением.

Доклад учащегося по теме: "Общие методы решения квадратных уравнений".

Слово учителя:

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

Фронтальная беседа: ученики делают запись в тетради:

Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• Если D

• Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;

• Если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.  

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение  имеет два одинаковых корня.

Доклад о жизни и научных трудах математика Ф.Виета.

Доклад учащегося по теме: Метод "переброски".

 Доклад учащегося по теме: Метод "коэффициентов"

3. Практическая работа:

Класс делится на группы по 4 человека. В каждой группе есть консультант, который помогает учащимся, у которых возникают трудности при решении квадратных уравнений.

Задание1: Решить квадратные уравнения по общим формулам.

1. 2х²-5х+2=0,

2. 6х²+5х+1=0,

3. 2х²-3х+2=0,

4. 4х²-12х+9=0.

На выполнение этой работы даётся 7 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт учителю и проверяет свои ответы.

Ставится оценка всей группе.

Задание 2: Решите приведённые квадратные уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета:

1. х²+10х+9=0,

2. х²+7х+12=0,

3. х²-10х-24=0,

4. х²-16х+60=0,

5. х²+5х-14=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к учителю и проверяет свои ответы

Ставится оценка всей группе.

Задание 3: Решите уравнения методом «переброски»:

1. 2х²-9х+9=0,

2. 10х²-11х+3=0,

3. 3х²+11х+6=0,

4. 4х²+12х+5=0,

5. 3х²+х-4=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к учителю и проверяет свои ответы

Ставится оценка всей группе.

Задание 4: Решить уравнения методом "коэффициентов".

1.5х²-7х+2=0;

2.3х²+5х-8=0;

3.11х²+25х-36=0;

4.11х²+27х+16=0;

5.939х²+978х+39=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к учителю и проверяет свои ответы.

Ставится оценка всей группе.

Задание №5: Решить биквадратные уравнения:

1.х⁴-13х²+36=0;

2.х⁴-3х²-28=0;

3. х⁴-24х²-25=0;

3.4х⁴-5х²+1=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к учителю и проверяет свои ответы. Ставится оценка.

4. Выставление оценок учащимся.

Оценив каждое из пяти заданий, учитель ставит общую оценку за работу на уроке. Докладчики получают дополнительную оценку за подготовку докладов и выступление на уроке.

5. Подведение итогов урока.

Подбирая материал к этому уроку, изучая дополнительную литературу, я и мои докладчики открыли для себя много интересного и нового о квадратных уравнениях, чего нельзя прочитать в учебнике. В наше время невозможно представить себе решение, как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.

6. Домашнее задание:

Подобрать по 2 уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.

Литература:

1. Материалы газеты "Математика", приложение к "1 сентября".

2. Г.И.Глейзер "История математики в школе" (для учащихся 7-8 классов). Пособие для учителей. - М. Просвещение,1982

3. Энциклопедический словарь юного математика. - 2-е изд., испр и доп. - М. Педагогика, 1989.