Презентация по матемтаике "Уравнения высших степеней"

Важнейшие факты истории уравнений

II  тысячелетие  до нашей эры Египетские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений.

ІІІ век.  Древнегреческий математик Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

Краткие сведения

Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение с одной переменной – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называется равносильным.

Уравнения n- ой степени имеет не более n корней.

Уравнения высших степеней

Важнейшие факты истории уравнений

• II тысячелетие до нашей эры Египетские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений.

• ІІІ век. Древнегреческий математик

Диофант в основном своем труде

«Арифметика» дал решение задач,

приводящих к т.н. диофантовым

уравнениям, и впервые ввел

буквенную символику в алгебру.

• Рубеж 6-7 вв.- творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно)

• Конец 15 в.- Лука Пачоли,

итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения

некоторых алгебраических уравнений, их

приложения к геометрии, теорию

геометрических пропорций.

• 1545 г.- Джероламо Кардано

нашел формулу решения

неполного кубического уравнения

• 1591 г.- французский математик

Франсуа Виет ввел буквенные

обозначения не только для неизве-

стных величин, но и для коэффи-

циентов уравнений, установил

зависимость между корнями и

коэффициентами уравнений.

• П. Руффини (1765 - 1822)–

итальянский математик, дал

доказательство неразрешимости

в радикалах общего алгебраичес-

кого уравнения пятой степени.

Доказательство Руффини значительно

проще данного позднее Абелем.

• Нильс Хенрик Абель (1802-1829)–

норвежский математик. В 1826 году Абель

доказал, что нельзя вывести формулы для

решения уравнений пятой степени и выше.

• Джероламо Кардано написал книгу

«Высокое искусство», посвященную алгебре.

Главное украшение книги «формула Кардано» для

уравнения

Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени. Кардано поместил этот способ в свою книгу. 

Краткие сведения

• Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
• Решить уравнение с одной переменной – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
• Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называется равносильным .
• Уравнения n - ой степени имеет

не более n корней

Основные виды уравнений высших степеней

• Уравнения третьей степени

• Уравнения пятой степени

• Уравнения четвертой степени

• Биквадратные уравнения

• Возвратные уравнения

• Однородные уравнения

Уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу.

• Теорема Безу.

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен

значению многочлена при х = а.

Р(х)=(х- а)Д(х)+ R , где R= p(a) .

• Следствие:

Если а - корень многочлена Р(х), то этот многочлен

без остатка делится на двучлен (х – а).

• Теорема:

Целые корни уравнения n- ой степени могут

быть только среди делителей свободного члена.

Пример: х 4 +х 3 +х 2 +3х+2=0.

Делители свободного члена + - 1; + - 2.

Подстановкой убеждаемся, что х = - 1 – корень уравнения.

Для нахождения остальных корней воспользуемся теоремой Безу:

х 4 +х 3 +х 2 +3х+2 l х+1 х 4 +х 3 +х 2 +3х+2=(х+1)(х 3 +х+2)

х 4 +х 3 х 3 +х+2 Легко проверить, что многочлен х 3 +х+2

х 2 +3х имеет корнем число -1:

х 3 +0х 2 +х+2 l х+1

х 2 + х х 3 +х 2 х 2 -х+2

2х+2 -х 2 + х

2х+2 -х 2 – х

0 2х+2

2х+2

0

Уравнение х 2 -х+2=0 действительно корней не имеет.

Ответ: х = -1.

Алгоритм решения возвратных уравнений.

1. Уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от «начала» и «конца» уравнения, равны между собой, называются возвратными (или симметричными) .

6х 4 – 35х 3 + 62х 2 – 35х + 6=0

2. Так как, конечно, х ≠ 0, то разделим на х 2 :

6х 2 – 35х + 62 – 35/х + 6/х 2 = 0.

3. Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

6(х 2 + 1/х 2 ) – 35(х + 1/х) + 62 = 0.

4. Выполним замену.

!!Фокус!! Если х+1/х = у , то (х+1/х) 2 =у 2 ; х 2 +1/х 2 = у 2 -2 ;

5. Решаем полученное уравнение.

6( – 2) – 35у + 62 = 0;

6 – 35у + 50=0 ;

у1 = 5/2; у2 = 10/3 ;

6. Выполняем обратную замену.

х + 1/х =5/2 и х + 1/х =10/3

Решая эти уравнения, получим ответ:

х1=1/2; х2=2; х3=1/3; х4=3

Замечание 1: Возвратное уравнение четной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подставкой

Замечание 2: Возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = -1, и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен (х + 1), приводится к возвратному уравнению четной степени.

Однородные уравнения.  

• Однородные уравнения обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение с одной переменной.

Решим уравнение:

Сделаем замену тог д а получим:

корней нет

Выполнив обратную замену и решая уравнение

найдем х = 1.

Ответ: 1.

Уравнения вида ( x + a)(x + b) (x + c)(x + d) = k, где a + b = c + d.

Решить уравнение (х- 2)( х+ 1)( х+ 4)( х+ 7)=63

Решение:

Раскроем скобки, группируя первый множитель с четвертым, а второй с

третьим.

Введем новую переменную

Имеем Выполним обратную замену

корней нет

Ответ: 

Проверь себя

деление «уголком»

- введение новой переменной

( х + 1)( х – 2)( х + 3)( х – 4) = 14. 1+(-2) = 3+(-4)

- симметрическое ур - е

ЖЕЛАЮ УДАЧИ!