Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой плоскости, содержащей его грань.
Многогранник называется невыпуклым, если существует такая грань, что многогранник оказывается по обе стороны от плоскости, содержащей эту грань.
Что такое в житейском смысле объем тела, в частности многогранника? Это то, сколько жидкости может быть налито внутрь этого многогранника.
Отрежем вершинки и нальем внутрь каждого многогранника воду. Выпуклый многогранник уже наполнился, а невыпуклый — еще нет.
Но возможно вода наливалась с разной скоростью: чтобы правильно сравнить объемы, выльем жидкость из каждого многогранника в одинаковые стаканы.
Уровень воды в правом стакане выше, чем в левом, значит объем невыпуклого многогранника действительно больше объема выпуклого.
1. Диагональ куба равна √588. Найдите его объем.
2. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 16. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
3. Объем куба равен 24√3. Найдите его диагональ.
4. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание – прямоугольник со сторонами 3 и 4.
5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
6. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.
7. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
8. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
9. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3.
10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.
11. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
12. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны √3.