Логарифмы и их свойства

Логарифмы и их свойства

0, b0 называют основным логарифмическим тождеством. " width="640"

Определение логарифма числа

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a , чтобы получить число b .

Формулу aˡ ͦ ᵍ ᵇ = b где a≠1, a0, b0 называют основным логарифмическим тождеством.

0(a≠1) и любых положительных x и y выполнены равенства: logₐ 1=0 logₐ a=1 logₐ x*y=logₐ x + logₐ y logₐ x/y= logₐ x - logₐ y logₐ xᵖ=p*logₐ x для любого действительного p . " width="640"

Основные свойства логарифмов

При любом a0(a≠1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

logₐ 1=0

logₐ a=1

logₐ x*y=logₐ x + logₐ y

logₐ x/y= logₐ x - logₐ y

logₐ xᵖ=p*logₐ x

для любого действительного p .

Десятичные логарифмы

log 10 a=lg a

lg 10=1

lg 100=lg 10²=2

Вычислить:

log 7 49; log 3 1/81; log 1/2 8; log 4 1;

log 10000; lg 0,001;

log 6 3 + log 6 2;

log 5 100 – log 5 4;

lg0,18 – lg 180;

0, a≠1 x = aᵇ б) logₐ f(x)=b, a0, a≠1 f(x) = aᵇ в) logₐ f(x)=logₐ g(x), a0, a≠1 1 способ: 2 способ: г) logₓ f(x)=b { { { f(x)0 f(x)=g(x) g(x)0 g(x)≠1 f(x)=g(x)ᵇ g(x)0 f(x)=g(x) " width="640"

Виды простейших уравнений и методы их решений

Уравнение

Решение

а) logₐ x=b, a0, a≠1

x = aᵇ

б) logₐ f(x)=b, a0, a≠1

f(x) = aᵇ

в) logₐ f(x)=logₐ g(x),

a0, a≠1

1 способ:

2 способ:

г) logₓ f(x)=b

{

{

{

f(x)0

f(x)=g(x)

g(x)0

g(x)≠1

f(x)=g(x)ᵇ

g(x)0

f(x)=g(x)

Методы решения логарифмических уравнений

• Преобразование уравнений по формулам
• Приведение к одному основанию
• Замена переменной
• Логарифмирование уравнений

Задание 1

Какое из данных чисел является корнем уравнения

Уравнения

Варианты ответов

1) log 2 x =2

а)16 б)4 в)8 г)2

2) log 3 x =-2

a)1/16 б)1/81 в)1/9 г)-9

3) log x 25=2

а)25 б)5 в)-5 г)1/5

Правильный ответ

4

1/9

5

Задание 2

Решить уравнения

Уравнение

Ответы

1) log 4 x = 2

16

2) log x 16 = 2

4

3) log 2 (x+1) = log 2 11

10

4) log 3 (x-4) = log 3 9

13

Задание 3

Укажите способ, которым следует решать уравнение.

• 2 √lg x + 5= lg x
• log 3 ²x -7log 3 x + 5 = 0
• lg(x-1) + lg(x+1)=lg(2x-3)
• xˡᵍ ͯ = 1000
• log 2 (x+2) + log 2 (x-1) = 5