Логарифмические уравнения

План - конспект урока

Учитель: Поликарпов А.А.

Тема урока: Логарифмические уравнения.

Тип урока – урок обобщения и систематизации знаний

Цели урока:

- образовательные: систематизировать знания по теме, закрепить навыки применения знаний при решении логарифмических уравнений;

- развивающие: сформировать умение выбора методов решения уравнений; развивать навыки самоконтроля;

- воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды, воспитанию взаимовыручки.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя: Я хочу начать урок со слов французского писателя Анатоля Франца «Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом»

Сообщение темы. Приготовить рабочие принадлежности к уроку, справочный материал.

1. Актуализация знаний. На этапе актуализации знаний учащиеся показали

знание определения логарифма, свойств логарифмов, умение применять свойства в простых случаях, но вместе с тем учащиеся недостаточно бегло владеют математической речью, затрудняются точно сформулировать определение и свойства логарифмов.

Устный опрос учащихся. 1.Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

5. Назовите основные свойства логарифмов.

1. Изучение нового материала

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида log_af(x) = log_ag(x) (1), где а-положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если f(x)0 и g(x) 0, то логарифмическое уравнение log_af(x) = log_ag(x) (где а0, а 1) равносильно уравнению f(x) = g(x) (2).

На практике теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению (2) ( такой переход называют потенцированием), решают уравнение (2), а затем проверяют его корни по условиям f(x)0, g(x) 0определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x) = g(x), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(x) = g(x), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Можно выделить три основных методы решения логарифмических уравнений: функционально-графический; метод потенцирования; метод введения новой переменной.

С классом решить следующие уравнения:

Пример 1 – решить уравнение: log₄(x – 2) = 2

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

2 = 2 1 = 2 log₄4 = log₄4²

Таким образом, мы уравняли основания логарифмов. Имеем:

Потенцируя (т.е. освобождаясь от знаков логарифмов), получаем:

х – 2 = 4²; х – 2 = 16; х = 18

Проверим найденный корень по условиям, определяющим ОДЗ:

х – 2 0; 18-2 0; 16 0, истинно

Ответ:  18 Пример 2 – решить уравнение: log₃(x² – 3x – 5) = log₃(7 – 2x)

Потенцируя (т.е. освобождаясь от знаков логарифмов), получаем:

x² – 3x – 5 = 7 – 2x

x² – x – 12 = 0, решаем квадратное уравнение. D = b²-4ac =(-1)² - 4 1 (-12) = 1 + 48 = 490, 2корня, х_1,2= = = = ; х₁= 4; х₂= -3

Проверим найденные корни по условиям, определяющим ОДЗ:

х₁= 4 ложно, т.е. х₁= 4-посторонний корень для заданного уравнения.

Проверим корень х₂= -3 истинно, поэтому х₂= -3 – корень заданного уравнения. Ответ: -3 Пример 3 – решить уравнение: log₂²x - 4 log₂x +3 =0

Введем новую переменную: у = log₂x, тогда уравнение примет следующий вид:

у² – 4у +3 = 0, решаем квадратное уравнение. D = b²- 4ac = (-4)²-4 1 3 = 16 – 12 = 40, 2корня, у_1,2= = = = ; у₁ = 3; у₂ = 1;

Подставляя полученные корни квадратного уравнения в переменную у = log₂x, решим простейшие логарифмические уравнения: log₂x = 3 и log₂x =1; х = 2³ и х =2¹ ;

Получим х = 8 и х = 2. Проверим найденные корни по условиям, определяющим ОДЗ: х0, имеем: 80 и 20 – истинно. Поэтому х = 8 и х = 2 корни заданного уравнения.

Ответ: 2; 8; Пример 4 – решить уравнение: основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение. Потенцируя (т.е. освобождаясь от знаков логарифмов), получаем:

2x + 3 = x + 1 ; 2х – х = 1 – 3; х = - 2

Проверим найденный корень по условиям, определяющим ОДЗ: ;

; ложно, значит х = -2 не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: пустое множество.

Пример 5 – решить уравнение log₂(x + 4) + log₂(2x + 3) = log₂(1- 2x)

Сначала преобразуем данное уравнение к виду (1). Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Имеем: log₂(x +4)(2x +3) = log₂(1 – 2x)

Потенцируя (т.е. освобождаясь от знаков логарифмов), получаем:

(x +4)(2x +3) = 1 – 2x

2x² + 8x +3x +12 = 1 – 2x

2x² +13x +11 = 0, решаем квадратное уравнение. D = b²-4ac = 13² - 4 2 11= 169 – 88 = 810, 2 корня, х_1,2= = = = ; х₁= -1; х₂ = - 5,5

Проверим найденные корни по условиям, определяющим ОДЗ: ; х= -1 истинно, поэтому х = -1 – корень заданного уравнения:

х₂= - 5,5 ; ложно, т.е. х₁= -5,5-посторонний корень для заданного уравнения.

Ответ: - 1.

1. Закрепление изученного материала.

Разноуровневые задания по карточкам.

Учащиеся выполняют работу на отдельных листочках и сдают их на проверку.

Допускается по необходимости совместное выполнение одного задания двумя учащимися и направляющая консультация учителя некоторым ученикам.

Цель самостоятельной работы не только в контроле за степенью усвоения учащимися нового учебного материала, но и в развитии самостоятельности мышления и повышения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому учителем новому материалу.

Проверочная работа.

Решите самостоятельно уравнения:

1. log₂(6 – x) = 4

2. log₉(x + 3) = log₉(2x – 16)

3. log₄²x - log₄x – 2 = 0

4. 

5. log₅(12 – 3x) = 2 + log₅3, (2 = log₅5²; справа сумма логарифмов = логарифму произведения)

1. Подведение итогов урока. Оценки за работу в группах, за проверочную работу.