Кривые второго порядка

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная (коническая) поверхность. Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность (пирибола), парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII.

Стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Также, благодаря своим геометрическим свойствам, кривые второго порядка нашли широкое применение в современной технике, например, в создании спутниковых тарелок и прожекторов. 

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые:

• Эллипс
• Окружность (частный случай эллипса)
• Мнимый Эллипс (пустое множество)
• Гипербола
• Парабола

Вырожденные кривые:

• Точка
• Пара пересекающихся прямых
• Пара параллельных прямых
• Прямая (две слившихся параллельных прямых)  
• Пара мнимых параллельных прямых

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Презентация содержит 22 слайда.

Кривые второго порядка

Черникова Юлия Васильевна

Г. Каменск – Уральский

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №3

имени Героя Советского Союза

лётчика – космонавта П. И. Беляева

Кривая второго порядка —

геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов

отличен от нуля. Иначе говоря

История

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная (коническая) поверхность . Если же сечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры , а именно эллипс, окружность (пирибола), парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур .

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII.

Стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям , а пушечный снаряд летит по параболической . Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу , а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Также, благодаря своим геометрическим свойствам, кривые второго порядка нашли широкое применение в современной технике, например, в создании спутниковых тарелок и прожекторов.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые:

• Эллипс — Окружность (частный случай эллипса) — Мнимый Эллипс (пустое множество) — Гипербола — Парабола —
• Эллипс —
• Окружность (частный случай эллипса) —
• Мнимый Эллипс (пустое множество) —
• Гипербола —
• Парабола —

Вырожденные кривые:

• Точка — Пара пересекающихся прямых — Пара параллельных прямых — Прямая (две слившихся параллельных прямых) — Пара мнимых параллельных прямых —
• Точка —
• Пара пересекающихся прямых —
• Пара параллельных прямых —
• Прямая (две слившихся параллельных прямых) —
• Пара мнимых параллельных прямых —

Эллипс

Эллипс и его фокусы

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток) — геометрическое место точки M Евклидовой плоскости, для которой сумма расстояний от двух выделенных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами ) постоянна, то есть

| F 1 M | + | F 2 M | = 2a.

Окружность является частным случаем эллипса . Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Связанные определения

• Отрезок, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса . Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
• Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса .
• Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром .
• Концы осей эллипса называются его вершинами .

• Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса.
• Расстояние c = | F 1 F 2 | / 2 называется фокальным расстоянием , а отношение — эксцентриситетом. Эксцентриситет ( также обозначается ε ) характеризует вытянутость эллипса . Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
• Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью : , где b — малая полуось, a — большая полуось. Величина, равная называется сжатием эллипса . Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением k 2 = 1 − e 2 .

Свойства

• Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса . Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
• Фокальное свойство. Если F 1 и F 2 - фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F 1 X) равен углу между этой касательной и прямой (F 2 X).

Соотношение между элементами эллипса

• Малая полуось:
• Расстояние от фокуса до ближней вершины:
• Расстояние от фокуса до дальней вершины:
• Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:

• Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:

Координатное представление

Для любого эллипса можно найти Декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

при 0

Площадь эллипса

• Площадь эллипса вычисляется по формуле

• Где a и b полуоси эллипса.

Окружность и её центр

Окружность

Окружность в Евклидовой геометрии — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой ее центром . Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом данной окружности .

Окружность является простой плоской кривой второго порядка, частным случаем эллипса и, аналогично другим кривым второго порядка (парабола, гипербола), имеет греческое название — пири́бола .

Связанные определения

- Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо

её точкой, называется радиусом окружности.

- Часть плоскости, ограниченная окружностью,

называется кругом . Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.

- Отрезок, соединяющий две точки окружности,

называется её хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

- Дугой называется часть окружности,

ограниченная двумя точками.

- Сегментом называется часть круга, ограниченная

дугой и стягивающей её хордой.

- Прямая, имеющая с окружностью ровно одну

общую точку, называется касательной к окружности,

а их общая точка называется точкой касания

прямой и окружности.

- Прямая, проходящая через две точки окружности, называтся секущей .

- Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.

- Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом .

- Отношение длины окружности к ее диаметру - число π .

Свойства

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
• Длину окружности радиуса R можно вычислить по формуле C = 2πR.
• Площадь круга радиуса R можно вычислить по формуле

Уравнения

Декартовы координаты:

Окружность с центральной точкой и радиусом r описывается следующим уравнением:

если M есть начало координат, то уравнение принимает вид:

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

Если , то функции принимают вид:

Гипербола

и её фокус

Гипербола

Гипербола — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами ) постоянно и равно | | F 1 M | - | F 2 M | | = C

Расстояние между фокусами называется фокальным расстоянием , а отношение e = | F 1 F 2 | / C —

эксцентриситетом .

Примером гиперболы служит график функции y = 1 / x.

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Термин «гипербола» (греч. ύπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским, поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Уравнение в прямоугольных координатах

Для любой гиперболы можно найти декартову

систему координат такую, что гипербола

будет описываться уравнением:

Числа a и b называются

соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы . Зная значения полуосей можно вычислить фокальное расстояние и эксцентриситет:

Каждая гипербола имеет пару асимптот: и

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной.

Гипербола,

её полуоси и асимптоты

Парабола, её фокус

и директриса

Парабола

Пара́бола — (греч. παραβολή — приложение) геометрическое место точек, равноудалённых от прямой (называемой директрисой параболы) и точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Парабола может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Для каждой параболы можно найти Декартову систему координат такую, что парабола представляет собой график y = ax².

Свойства

Парабола является антиподерой прямой.

Отражённые лучи от пучка прямых, перпендикулярных к директрисе, собираются в фокусе параболы.

Данное свойство используется в конструкции телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио...), в конструкции узконаправленных антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния. Параболические антенны (тарелки) собирают пучок параллельных лучей приходящих от удалённого передатчика на приёмнике.