Графическое решение квадратных уравнений с использованием конструктора «АвтоГраф»

Графическое решение квадратных уравнений с использованием конструктора «АвтоГраф»

Учитель математики

Гусева С.Г.

МБОУ СОШ №18 имени В.Я.Алексеева

Квадратные уравнения

• 3х 2 + 9х = 0

2) х 2 – 16 = 0

3) (х–7)(х+8) = 0

4) х 2 –2х – 3 = 0.

3х 2 + 9х = 0

3х (х+3) = 0

х = 0 или х+3 = 0

х = – 3

Ответ: – 3; 0.

х 2 – 16 = 0

(х – 4 ) (х + 4) = 0

х – 4 = 0 или х + 4 = 0

х = 4 х = –4

Ответ: –4; 4.

(х–7)(х+8) = 0 (х 2 + х –56 = 0)

х – 7 = 0 или х+8 = 0

Х = 7 х = –8

Ответ: –8; 7.

х 2 –2х – 3 = 0

Как его решить?

Квадратным уравнением называют уравнение вида

ах 2 + b х+с=0 ,

где а, b , с – любые числа,

причем а 0.

• Построить график квадратичной функции

у = ах 2 + b х + с.

2. Найти точки пересечения параболы с осью х.

3. Записать корни уравнения, которыми являются абсциссы точек пересечения

1 способ

Построим график функции у = х 2 - 2х – 3.

График – парабола, ветви вверх.

• Вершина (х 0 ; у 0 ): х 0 = - , а = 1, b = - 2, х 0 = - = 1.

у

(1; - 4)

у 0 = 1 2 – 2 ∙ 1 – 3 = - 4,

2. Симметричные точки: х = 0 и х = 2,

у (0) = у (2) = 0 2 - 2 ∙ 0 – 3 = - 3 ,

(0; - 3), (2; - 3)

3. Дополнительные точки: х = - 1 и х = 3,

у (- 1) = у (3) = 1 + 2 – 3 = 0,

(- 1; 0), (3; 0)

-1

3

1

х

Корнями уравнения являются

абсциссы точек пересечения с осью х.

Ответ: х 1 = -1, х 2 = 3.

Построим в одной системе координат графики функций y = x² - 2x – 3 и y = 0

2 способ

к виду

Преобразуем уравнение

Построим в одной системе координат графики функций

у

-это парабола

-это прямая

9

Корнями уравнения являются

абсциссы точек пересечения : -1 и 3

Ответ: х 1 = -1, х 2 = 3.

3

х

3

-1

Построим в одной системе координат графики функций

3 способ

Преобразуем уравнение х 2 - 2х – 3 = 0 к виду х 2 - 3 = 2х

Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 – 3 и у = 2х

у

у = х 2 - 3 – это парабола

у = 2х – это прямая

6

Корнями уравнения являются

абсциссы точек пересечения : -1 и 3

Ответ: х 1 = -1, х 2 = 3.

-1

х

3

- 3

Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 – 3 и у = 2х

4 способ

Преобразуем уравнение х 2 - 2х – 3 = 0 к виду х - 2 =

Построим в одной системе координат графики функций у = х – 2 и у =

у = х - 2 – это прямая

у = – это гипербола

3

Корнями уравнения являются

абсциссы точек пересечения : -1 и 3

Ответ: х 1 = -1, х 2 = 3.

5 способ

Преобразуем уравнение х 2 - 2х – 3 = 0 к виду (х - 1) 2 = 4

Построим в одной системе координат графики функций у = (х – 1) 2 и у = 4

у = (х - 1) 2 - сдвиг параболы вправо на 1 единицу

у = 4 - это прямая

у

4

Корнями уравнения являются

абсциссы точек пересечения : -1 и 3

Ответ: х 1 = -1, х 2 = 3.

х

3

-1

Построим в одной системе координат графики функций у = (х – 1) 2 и у = 4

2 способ

1 способ

3 способ

х 2 - 3 = 2х

4 способ

5 способ

х - 2 =

(х - 1) 2 = 4

Немного истории

В 1591г. Франсуа Виет вывел формулы для

нахождения корней квадратных уравнений, однако он

не признавал отрицательных чисел.

Лишь в XVIII веке благодаря трудам учёных Жирара, Декарта, Ньютона, способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Тема сложная, вызывает у меня затруднение –

Есть отдельные затруднения –

Мне всё понятно –