Элективный курс по математике «Гармония чисел»

Пояснительная записка.

В системе учебных предметов средней школы математика занимает важное место. Это объясняется её безусловной значимостью для изучения учебных дисциплин, также её бесспорной ролью в формировании личных качеств школьников.

На современном этапе развития школы имеются необходимость и возможность удовлетворить потребности учащихся, проявляющих интерес, склонности и способности к математике.

Школы стали свободны в выборе вариантов учебного плана, профильного или углубленного обучения. Такая возможность  в первую очередь требует программно-методического подкрепления и рационального использования отведённых в учебных планах дополнительных часов для учебных предметов.

Программа элективного курса “Гармония чисел” рассчитана на 35 часов лекционно-практических занятий для учащихся 6-7-х классов, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах.

Цель курса:

Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики и оказание квалифицированной помощи в расширении, углублении, систематизации и обобщении их знаний в области теории чисел.

Задачами данного элективного курса являются:

Начальная предпрофильная подготовка на основе расширения представления о числе, о роли математики;

Создать условия для развития интереса учащихся к математике.

Повышение уровня математического и логического мышления учащихся;

Используемые педагогические технологии:

Технология проблемного обучения (такая организация занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями и развитие мыслительных способностей).

Технология коллективного способа обучения (такая организация занятий, при которой происходит общение учащихся в мини-группах по 2-3 человека, когда каждый учит каждого).

Технология развивающего обучения (такая организация занятий, при которой каждая личность воспринимается непризнанным гением).

Ожидаемые результаты:

- умение логически рассуждать при решении текстовых арифметических задач;

- умение применять изученные методы к решению олимпиадных задач;

- успешное выступление учащихся на олимпиадах.

Программа элективного курса поможет оценить свои возможности и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Содержание курса.

1. Запись чисел. Римские цифры.

2. Логические задачи.

3. Приемы устных вычислений.

4. Принцип Дирихле.

5. Пространственно-комбинаторные задачи.

6. Делимость чисел.

7. Дроби.

8. Проценты.

9. Числовые кроссворды.

10. Поиск закономерностей.

11. Текстовые задачи.

12. Задачи Пуассона.

13. Математические чудеса и тайны.

Учебно-тематический план.

1. Запись чисел. Римские цифры.

2. Логические задачи

3. Приемы устных вычислений.

4. Принцип Дирихле.

5. Пространственно-комбинаторные задачи.

6. Делимость чисел.

7. Дроби.

Весь материал - в документе.

Муниципальное управление образования Амгинского улуса РС/Я

МБОУ «Амгинская средняя общеобразовательная школа №1 имени В.Г.Короленко с углубленным изучением отдельных предметов»

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

«ГАРМОНИЯ ЧИСЕЛ»

(для 6-7 классов)

Составитель:

Жиркова Марфа Егоровна,

учитель математики ВКК

с. Амга

Пояснительная записка.

В системе учебных предметов средней школы математика занимает важное место. Это объясняется её безусловной значимостью для изучения учебных дисциплин, также её бесспорной ролью в формировании личных качеств школьников.

На современном этапе развития школы имеются необходимость и возможность удовлетворить потребности учащихся, проявляющих интерес, склонности и способности к математике.

Школы стали свободны в выборе вариантов учебного плана, профильного или углубленного обучения. Такая возможность в первую очередь требует программно-методического подкрепления и рационального использования отведённых в учебных планах дополнительных часов для учебных предметов.

Программа элективного курса “Гармония чисел” рассчитана на 35 часов лекционно-практических занятий для учащихся 6-7-х классов, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах.

Цель курса:

Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики и оказание квалифицированной помощи в расширении, углублении, систематизации и обобщении их знаний в области теории чисел.

Задачами данного элективного курса являются:

• Начальная предпрофильная подготовка на основе расширения представления о числе, о роли математики;

• Создать условия для развития интереса учащихся к математике.

• Повышение уровня математического и логического мышления учащихся;

Используемые педагогические технологии:

• Технология проблемного обучения (такая организация занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями и развитие мыслительных способностей).

• Технология коллективного способа обучения (такая организация занятий, при которой происходит общение учащихся в мини-группах по 2-3 человека, когда каждый учит каждого).

• Технология развивающего обучения (такая организация занятий, при которой каждая личность воспринимается непризнанным гением).

Ожидаемые результаты:

• умение логически рассуждать при решении текстовых арифметических задач;

• умение применять изученные методы к решению олимпиадных задач;

• успешное выступление учащихся на олимпиадах.

Программа элективного курса поможет оценить свои возможности и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Содержание курса.

1. Запись чисел. Римские цифры.

2. Логические задачи

3. Приемы устных вычислений.

4. Принцип Дирихле.

5. Пространственно-комбинаторные задачи

6. Делимость чисел

7. Дроби

8. Проценты

9. Числовые кроссворды

10. Поиск закономерностей

11. Текстовые задачи.

12. Задачи Пуассона

13. Математические чудеса и тайны.

Учебно-тематический план.

Приложение 1

Методический материал для учителя.

1. Запись чисел. Римские цифры.

Римские цифры — цифры, использовавшиеся древними римлянами в своей непозиционной системе счисления.

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Римские цифры появились за 500 лет до нашей эры:

В русском языке для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существуют мнемонические правила:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.

Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидумам

Соответственно M, D, C, L, X, V, I

Применение: В русском языке римские цифры используются в следующих случаях:

• Номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.

• Порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II.

• Номер тома в многотомной книге (иногда — номера частей книги, разделов или глав).

• В некоторых изданиях — номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия.

• Маркировка циферблатов часов «под старину».

• Иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XX съезд КПСС, Игры XXII Олимпиады и т. п.

• Валентность химических элементов

Римские цифры широко использовались в СССР при указании даты для обозначения месяца года: 11/III-85 или 9.XI.89. С переходом на компьютерную обработку информации форматы даты, основанные на римских цифрах, практически вышли из употребления.

В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.

1. Логические задачи.

Задачи такой серии не имеют прямой связи с каким-либо учебным материалом. Цель – воспитание у школьников умения проводить доказательные рассуждения.

1. Принцип Дирихле

При решении многих задач используются сходные между собой приемы рассуждений, получившие название “ принципа  Дирихле “. Задачи на  принцип Дирихле воспитывают у учащихся умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств. На решение  задач  по  принципу Дирихле нужно посвятить несколько  занятий, которые могут быть разделены занятиями на другие темы. Принцип Дирихле можно давать прямо на первых уроках, так как он достаточно рельефно характеризует специфику олимпиадных задач. Кроме того, многие задачи используют идеи принципа Дирихле в решении всей задачи или какой-то её части.

В самой простой и несерьезной форме принцип Дирихле выглядит так: “нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в  каждой клетке находилось не больше двух зайцев “. Другая формулировка “ принципа Дирихле“:  если  n + 1 предмет поместить в n мест, то обязательно хотя бы в одном месте окажутся хотя бы два предмета. Заметим, что в роли предметов могут выступать и математические объекты - числа, места в таблице, отрезки и т.д.

1. Делимость чисел

Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядную единицу

Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел. Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?

Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.

Признак делимости чисел на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

Признак делимости чисел на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12 : 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24 : 4 = 6);
103 456 (56 : 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9 : 3 = 3).

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18 : 9 = 2).

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; 1 570.

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22 : 11 = 2).

Признак делимости чисел на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 ( 50 : 25 = 2);

1 475 (75 : 25 = 3).

Признак делимости чисел на разрядную единицу

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Приложение 2

Дидактические материалы

(для самостоятельного решения учащимися)

1. Проценты. [5]

№1. Антикварный магазин приобрел старин­ный предмет за 30 тыс. р. И выставил его на про­дажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цeну на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже антикварного предмета?

№2. На весенней распродаже в одном мага­зине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на

45%. В ка­ком магазине выгоднее купить этот шарф?

№3. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку про­давали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

№4. Занятия ребенка в музыкальной шко­ле родители оплачивают в сбербанке, внося еже­месячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату за неделю?

№5. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому со­ставляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год; через два года; через 6 лет?

1. Принцип Дирихле. [22]

Задача 1. В корзине лежат 30 грибов – рыжиков  и груздей. Известно, что среди  любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине.

 Задача 2. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число  шариков  нужно  вынуть  из  мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика  одного цвета?

Задача 3. В магазин  привезли  25 ящиков с тремя сортами яблок (в каждом  ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков одного сорта.

Задача 4. В квадрате со стороной 1 м бросили 51 точку. Докажите, что какие-то 3 точки из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Задача 5. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек,  сумма  возрастов которых не меньше 142.

 Задача 6. В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара. А) Какое наименьшее число шаров надо вытащить  из  мешка,  чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар?

Задача 7. Cколько надо взять двузначных чисел, чтобы по крайней мере одно из них делилось: а) на 2, б) на 7?

Задача 8. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Задача 9. Докажите, что в любой копании из пяти человек двое имеют   одинаковое число знакомых.

 Задача 10. 10 школьников на олимпиаде решили 35  задач, причем  известно, что  среди  них  есть  решившие ровно одну задачу, решившие ровно две задачи и решившие ровно три задачи. Докажите, что среди них есть школьник, решивший не менее  пяти задач.

Задача 11. В школе 20 классов. В ближайшем доме живут 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать,  что среди  них  обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

Задача 12. В школе учится 370 человек. Докажете, что среди всех учащихся найдутся два человека,  празднующие свой день рождения в один и тот же день.

 Задача 13. Коля подсчитал, что за завтрак, обед и ужин он съел 10  конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше 4  конфет.

 Задача 14. В классе 37 человек. Докажите,  что среди них найдутся 4  человека с одинаковым числом дня рождения.

 Задача 15. В ящике комода,  который стоит в темной комнате, лежат 10              коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно достать, чтобы среди них была пара одинакового цвета?

Задача 16. Имеются три ключа  от трех чемоданов с разными замками.              Достаточно ли трех  проб, чтобы открыть чемодан?

 Задача 17. Какое наибольшее число полей на доске 8 Х 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было бы, по крайней мере, одно незакрашенное?

Задача 18. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 разбили на  3 группы. Докажите, что  произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

Задача 19. Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то двое мужчин  сидят друг напротив друга.

Задача 20. На планете Тау – Кита суша занимает более половины площади              планеты. Докажите, что тау-китяне  могут  прорыть  тоннель, проходящий через  центр планеты и соединяющий сушу с сушей.

 Задача 21. Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат  в  подземелье, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько  комнат в  подземелье, если, как подсчитал  Иван-царевич,  в  худшем случае, ему  достаточно 20 проб,  чтобы выяснить,  какой ключ от какой комнаты.

 Задача 22. В погребе стоит 20 одинаковых банок с вареньем. В 8-ми банках клубничное, в 7-ми малиновое, в 5-ти вишневое. Каково наибольшее число банок,  которые можно в темноте вынести  из погреба с уверенностью, что там осталось еще хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого.

1. Задачи на делимость.

Задача 1. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 - 2,  на 4 - 3,  на 5 - 4,  на 6 - 5, на  7 - 6, на 8 - 7, на 9 - 8, на 10 - 9.

Задача 2. При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число нацело на 75 и почему?

Задача 3. Найти все числа, большие 25000, но меньшие 30000, которые  как при  делении на 393,  так и при делении на 655 дают в остатке 210.

Задача 4. На складе  имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше  300, но меньше 400.  Если ножи и вилки вместе считать десятками или   дюжинами,  то  в  обоих  случаях  получается  целое число десятков и целое  число  дюжин. Сколько  было  ножей и  вилок на складе,  если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

Задача 5. Изменяется ли при делении с остатком частное  и  остаток, если делимое и делитель увеличить  в 3 раза (ответ подтвердить примером)?

Задача 6. Даны три  последовательных натуральных числа,  из которых  первое - четное. Докажите что произведение их кратно 24.

Задача 7. Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя     деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца - 70см, сына - 56 см. Найти расстояние между этими деревьями,  если известно,  что следы их  совпали 10 раз.

Задача 8. Для устройства  елки  купили  орехов,  конфет и пряников - всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников  на  120 штук меньше,  чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых  подарков для детей можно сделать   из этого запаса?

Задача 9. Если сложить несократимую дробь с единицей, то вновь полученная дробь будет также несократима. Почему?

Задача 10. Доказать, что произведение НОД и НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел.

Задача 11. Витя сказал  своему  другу  Коле: “ Я придумал пример на  деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно  на  1, 3, 5, 7 “. Подумав, Коля  ответил: “Ты путаешь что – то”. Прав ли Коля?

Задача 12. Какую цифру надо поставить вместо буквы А в запись числа А37, чтобы оно делилось:  а) на 6 , б) на 9?

1. Логические задачи.

1. Сегодня Петина мама сказала: "Все чемпионы хорошо учатся". Петя говорит: "Я хорошо учусь. Значит, я чемпион". Правильно ли он рассуждает?

2. Петя говорит: "Позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13". Может ли такое быть?

3. Коренными жителями острова являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Человек А говорит: "Я лжец". Является ли он уроженцем острова рыцарей и лжецов?

4. Однажды Алиса оказалась в какой-то из двух стран - А или Я. Она знает, что все жители страны А всегда говорят правду, а все жители страны Я - всегда лгут. Притом все они часто ездят в гости друг к другу. Может ли Алиса, задав один-единственный вопрос первому встречному, узнать, в какой из стран она находится?

5. Коренными жителями острова являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Какой вопрос нужно задать на острове аборигену, чтобы узнать, куда ведет интересующая вас дорога - в город лжецов или в город рыцарей?

6. Есть три человека, про которых известно, что один из них рыцарь, другой - лжец, а третий - приезжий, нормальный человек, который может говорить правду и лгать.
   А говорит: "Я - нормальный человек".
   В говорит: "А и С иногда говорят правду".
   С говорит: "В - нормальный человек".
   Кто из них лжец, кто - рыцарь, а кто - нормальный человек?

7. Встретились несколько аборигенов, и каждый из них заявил всем остальным: "Вы все - лжецы". Сколько рыцарей могло быть среди этих аборигенов?

8. В городе Глупове живут только полицейские, воры и обыватели. Полицейские всегда врут обывателям, воры - полицейским, а обыватели - ворам. Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод и каждый сказал своему правому соседу: "Я - полицейский". Сколько обывателей было в этом хороводе?

9. Жан и Пьер время от времени лгут. Жан говорит Пьеру: "Когда я не лгу, ты тоже не лжешь". Пьер ему отвечает: "А когда я лгу, ты лжешь". Возможно ли, чтобы во время этого разговора один из них солгал, а другой сказал правду?

10. Если человек, стоящий в очереди перед вами, был выше человека, стоявшего после того человека, который стоял перед вами, то был ли человек, стоявший перед вами, выше вас?

11. В стране три города - А, Б, В. Жители города А всегда говорят правду, а города Б - лгут. В городе В лгут и говорят правду в строгой очередности. Дежурному на каланче, увидевшему пожар, позвонили. Состоялся такой разговор: "У нас пожар!" - "Где горит?" - "В городе В!". Куда ехать пожарным?

1. Пространственно-комбинаторные задачи.

1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

2. Можно ли соединить 77 телефонов между собой проводами так, чтобы каждый был соединен ровно с пятнадцатью?

3. В магазине продаются автомобили»Жигули» восьми цветов. Сколько существует вариантов купить два автомобиля разных цветов?

4. Сколько можно получить четырехзначных четных чисел, заменяя в записи *4** звездочки цифрами?

5. Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36, играя в «Спортлото»?

1. Задачи Пуассона.

1. Бидон, ёмкость которого 10л, наполнен молоком. Имеются ещё пустые сосуды в 7 и 2л. Как разлить молоко в два сосуда по 5л каждый?

2. Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящихся в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только 2 пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведёр, а в другой 3 ведра. Как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Методические рекомендации по реализации программы ЭК.

Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из разнообразных источников или составлены самим учителем.

Начинать обучение следует из простых задач, условия которых полностью соответствует названиям предлагаемых типов задач.

На более высоком уровне целесообразно предложить учащимся более сложные, комбинированные задачи.

Для более эффективной работы учащихся целесообразно в качестве дидактических средств использовать возможности ИКТ - слайды-презентации.

Важно правильно организовать работу учащихся с текстом задачи при проведении анализа условия. Для этого каждый учащийся должен быть обеспечен текстом задачи.

По итогам курса учащиеся должны получить отметку «зачтено».

Литература.

1. Котов АЯ. Вечера занимательной математики. М.: Просвещение, 1967.

2. Кордемский БА. Удивительный мир чисел. М.: Просвещение, 1985.

3. Сафонова ВЮ. Задачи по математике для внеклассной работы. М.: МИРОС,1993.

4. Гусев ВА. Внеклассная работа по математике. М.: Просвещение, 1984.

5. Нагибин ФФ. Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 1988.

6. Гарднер м. Математические чудеса и тайны. М.: Наука, 1986.

7. Мочалов ЛП. Головоломки. М.: Наука, 1980.

8. Штейнгауз. Сто задач. М.: Наука, 1982.

9. Игнатьев ЕИ. В царстве смекалки. М.: Наука, 1981.

10. Шамаев ИИ. Сананы арыйа уерэн. Дь.: Бичик, 1999.

11. Кононова ОП. «Дьо5ур» кружоктарын задачалара. Дь.: РК, 2003.