Двоичная арифметика. 8 класс

Двоичная арифметика

АРИФМЕТИКА В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Автор: Александрова З.В., учитель физики и информатики

МБОУ СОШ №5 пгт Печенга, Мурманская область

Двоичная арифметика

Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

• справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком; правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
• справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
• правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

1. справедливы одни и те же законы арифметики:

коммутативный (переместительный) m + n = n + m

m · n = n · m

ассоциативный (сочетательный)

( m + n ) + k = m + ( n +  k ) = m + n + k

( m · n ) · k = m · ( n ·  k ) = m · n · k

дистрибутивный (распределительный)

( m + n ) · k = m ·  k + n ·  k

2. справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком ;

3. правила выполнения арифметических операций опираются на

таблицы сложения и умножения.

Арифметические операции

вычитание

сложение

Перенос единицы в следующий разряд

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1= 1 0 2

1 + 1 + 1 = 1 1 2

0-0=0 1-1=0

1-0=1 1 0 2 -1=1

Заём из старшего разряда





1

1

1

1

1

0 1 1 10 2

0 10 2

1 0 1 1 0 2

+ 1 1 1 0 1 1 2

1 0 0 0 1 0 1 2

– 1 1 0 1 1 2

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

2

2

Арифметические операции

Если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд.

При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе счисления, как в любой позиционной системе, в следующий разряд может переходить только единица.

Арифметические операции

Примеры для самостоятельного решения

11111 2

+101011 2

100101 2

+ 10101 2

А.

Б.

101001 2

+ 1110111 2

101111 2

В.

Г.

+ 11001 2

Арифметические операции

Примеры для самостоятельного решения

Б.

А.

1001101 2

– 101111 2

11001 2

– 110001 2

Примеры для самостоятельного решения

В.

Г.

1100111 2

– 110001 2

110001 2

– 11001 2

Таблица сложения

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

(результат сложения двух единиц: ноль и единица переноса в старший разряд)

Таблица умножения

0  0 = 0

0  1 = 0

1  0 = 0

1  1 = 1

Таблица вычитания

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

10 - 1 = 1

(занимаем единицу из старшего разряда)

Арифметические операции

умножение

деление

1 0 1 0 1 2

 1 0 1 2

1 0 1 0 1 2

1 1 1 2

– 1 1 1 2

1

1

2

1 0 1 0 1 2

+ 1 0 1 0 1 2

1 1 1 2

– 1 1 1 2

0

1 1 0 1 0 0 1 2

Арифметические операции

1110011

10010011

Операция умножение многоразрядных чисел в различных позиционных системах счисления происходит по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Следует только грамотно пользоваться теми цифрами, которые входят в алфавит используемой системы счисления.

Пример 1.

Вычислим разность X − Y двоичных чисел, если X =1010100 2 и Y =1000010 2 . Результат представим в двоичном виде.

Решение:

Ответ: 10010

При выполнении любых арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, следует предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Примеры для самостоятельного решения

№ 1 Выполните сложение: №2 Выполните умножение:

• 100101+101= 1) 100001×10010= 101101+111= 2) 110001×1011= 110011+1101= 3) 101×101=
• 100101+101= 1) 100001×10010=
• 101101+111= 2) 110001×1011=
• 110011+1101= 3) 101×101=

№ 3 Выполните вычитание: №4 Выполните деление:

• 1000101-1010= 1) 10000:10= 1101101-110= 2) 101101:101= 110101-101= 3) 100011:11=
• 1000101-1010= 1) 10000:10=
• 1101101-110= 2) 101101:101=
• 110101-101= 3) 100011:11=

№ 1 Выполните сложение: №2 Выполните умножение:

• 100101+101= 101010 1) 100001*10010=1001010010 101101+111= 110100 2) 110001*1011=1000011011 110011+1101=1000000 3) 101*101=11001
• 100101+101= 101010 1) 100001*10010=1001010010
• 101101+111= 110100 2) 110001*1011=1000011011
• 110011+1101=1000000 3) 101*101=11001

№ 3 Выполните вычитание: №4 Выполните деление:

• 1000101-1010= 111011 1) 10000:10=1000 1101101-110= 1100111 2) 101101:101=1001 110101-101= 110000 3) 100011:11=1011
• 1000101-1010= 111011 1) 10000:10=1000
• 1101101-110= 1100111 2) 101101:101=1001
• 110101-101= 110000 3) 100011:11=1011

Предлагаю вам познакомиться с цифровыми образовательными ресурсами из Единой коллекции ЦОР по теме «Двоичная арифметика»:

- Арифметические операции в позиционных системах счисления

- Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел

- Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел

- Умножение и деление двоичных чисел

Интерактивный задачник по теме «Системы счисления»

Таблица сложения в восьмеричной системе:

Домашнее задание

Задача 1.   Найти сумму и разность чисел 216 и 53 в десятичной и в двоичной системах счисления. Сделать проверку.

Задача 2.  Найти произведение и частное чисел 45 и 9 в десятичной и двоичной системах счисления. Сделать проверку.