^ Ќаверх ^
√отовые уроки дл€ учителей

—айт учител€ дл€ учителей


Ќаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Ќаибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

јвтор:  от ¬ацлав »ванович,   –азмер: 0.4 MB
ƒобавлен: 22.06.2013.

≈сли натуральное число ј делитс€ на натуральное число ¬ с остатком r, то это значит, что ј = ¬n+r, где ј – делимое, ¬ – делитель, n-частное. ќстаток r может равн€тьс€ 0, 1, 2, …, ¬ – 1.

≈сли  r= 0, то говор€т, что ј кратно ¬ или что ј делитс€ нацело на ¬, а число ¬ €вл€етс€ делителем числа ј или что ¬ делит ј.

Ќатуральные числа бывают трех видов: имеющие только один делитель (такое число только одно – 1), имеющие два делител€ и имеющие более двух делителей. ≈сли натуральное число m имеет только два делител€ 1 и само число m, то оно называетс€ простым. Ќапример, 2, 3, 5, 7, 11 – простые числа. ≈сли натуральное число m имеет более двух делителей, то оно называетс€ составным. Ќапример, 4, 6, 12 – составные числа. „исло 1 не €вл€етс€ ни простым, ни составным.  „тобы распознать простое число, нужно проверить его делимость на все простые числа, квадрат которых не превосходит данное число. ƒелать это стоит, естественно, только в тех случа€х, когда не видно сразу, что число составное. јлгоритм распознавани€ составного числа: чтобы показать, что данное число составное, достаточно представить его в виде произведени€ двух натуральных чисел, ни одно из которых не равно 1.

»так, делителем данного  числа называетс€ число, на которое данное число делитс€ без остатка. 

ѕример 1. Ќайти все делители числа 50.

–ешение. «аметим, что число 1 – делитель любого числа, в том числе и 50. –аскладываем 50 на простые множители.  аждый из них (2 и 5) будет простым делителем 50. ѕеремножением же простых множителей по два и по три получаем остальные (составные) делители 50. ƒругих делителей число 50 не имеет.

ќтвет: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

јлгоритм определени€ количества всех делителей числа:

1) –азложим данное число на простые множители;

2) ”величим на единицу показатель степени каждого простого множител€;

3) ѕеремножим увеличенные показатели всех простых множителей;

4) ¬ результате получим количество всех делителей данного числа.

ќбщим делителем нескольких чисел называетс€ число, на которое все данные числа дел€тс€ без остатка. Ќапример, числа 25 и 35 имеют общие делители: 1 и 5. —реди всех общих делителей  всегда имеетс€ наибольший.  Ёто число называетс€ наибольшим общим делителем (Ќќƒ).

“ак, Ќќƒ(25; 35) = 5.

ƒл€ нахождени€ Ќќƒ нескольких чисел пользуютс€ чаще всего следующими  двум€ способами.

ѕервый способ – разложение на простые множители.

ѕример 2. Ќайти Ќќƒ чисел 210, 1260 и 245.

–ешение. –азложим каждое из данных чисел на простые множители и выпишем все их  общие множители, причем каждый из них берем с наименьшим показателем, встречающимс€ в этих разложени€х. »меем:

Ќќƒ (210, 1260, 245)=35

ќтвет: Ќќƒ (210, 1260, 245)=35.

¬торой способ – последовательное деление. ќн называетс€ еще алгоритмом ≈вклида. „тобы найти Ќќƒ двух чисел, дел€т большее число на меньшее, и если получаетс€ остаток, то дел€т меньшее число на остаток; если снова получаетс€ остаток, то дел€т первый остаток на второй. “ак продолжают делать до тех пор, пока в остатке не получитс€ нуль. ѕоследний делитель и есть Ќќƒ данных чисел.

ѕример 3. Ќайти Ќќƒ(391; 299).

–ешение. –азделив число 391 на 299, получим в остатке 92. –азделив 299 на 92, получим в остатке 23. –азделив 92 на 23, получим в остатке 0. —ледовательно, Ќќƒ(391; 299) = 23.

ќтвет: Ќќƒ(391; 299) = 23.

„тобы найти таким способом Ќќƒ трех и более чисел, наход€т сначала наибольший общий делитель каких-нибудь двух из них, затем – Ќќƒ найденного делител€ и какого-нибудь третьего из данных чисел и т. д.

ƒва или несколько чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, называютс€ взаимно простыми.

Ќќƒ (15; 22) =1, следовательно, 15 и 22 взаимно просты.

Ќќƒ (18; 15) = 3, следовательно, 18 и 15 не взаимно просты.

≈сли Ќќƒ (ј; ¬) = 1, то дробь A/B - несократима€.

ќбщим кратным данных чисел называетс€ натуральное число, которое делитс€ на каждое из данных чисел без остатка).

Ќапример, числа 12, 24, 36, …  €вл€ютс€ общими кратными чисел 3 и 4.

»з всех общих кратных можно найти наименьшее.

Ќаименьшим общим кратным нескольких чисел называетс€ самое меньшее натуральное число, которое делитс€ на каждое из данных чисел.

Ќапример, Ќќ  (6; 15; 20) = 60, так как никакое натуральное число, меньшее 60, не делитс€ на 6, 15 и 20 одновременно, а 60 делитс€ на эти числа.

”кажем два способа нахождени€ Ќќ .

ѕервый способ – разложение на простые множители. „тобы найти Ќќ  нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем, вз€в разложение одного из них, умножить его на недостающие простые множители из разложений других чисел.

ѕример 4. Ќайти Ќќ (72; 108).

–ешение. –азложим числа 72 и 108 на множители:

¬ыпишем все множители числа 108 (это удобно, так 108 больше 72) и, добавив множитель 2, который еще дополнительно имеетс€ в числе 72, получим Ќќ (72; 108) =216.

ќтвет: Ќќ (72; 108) = 216.

≈сли большее из данных чисел делитс€ на все остальные, то оно и будет наименьшим общим ратным этих чисел. Ќапример, Ќќ (60; 120; 40) = 120.

≈сли никака€ пара данных чисел не имеет общих множителей, то дл€ нахождени€ Ќќ  данных чисел их нужно перемножить. Ќапример, Ќќ (7; 8; 11) =616.

¬торой способ. »звестно, что Ќќ  двух чисел равно произведению этих чисел, деленному на их Ќќƒ.

ѕример 5. Ќайти Ќќ (360; 70).

–ешение. “ак как Ќќƒ (360; 70) = 10, то  Ќќ (360; 70) = 2520 .

ќтвет: Ќќ (360; 70) = 2520.

„тобы найти этим способом Ќќ  трех и более чисел, сначала наход€т Ќќ  каких-нибудь двух из них, потом – Ќќ  этого наименьшего кратного и какого-нибудь третьего данного числа и т. д.

ѕример 6. ƒокажите, что два соседних натуральных числа n и n + 1 €вл€ютс€ взаимно простыми.

ƒоказательство – смотри документ

ѕримеры 7-10 с решени€ми – смотри документ

”пражнени€

1. Ќайти Ќќ  (360; 396)  и  Ќќƒ (360; 396).

2. — помощью алгоритма ≈вклида найти Ќќƒ(13172; 261).

ќстальные упражнени€ – смотри документ

ƒ.з.

1) «нать, как определ€ть количество делителей у числа, и уметь находить Ќќƒ и Ќќ  нескольких чисел.

2) ”меть выполн€ть упражнени€ 6, 7, 8, 11, 12, 13, остальные –  по желанию.

—качан: 120

–°–∞–Љ–∞—П –Љ–∞—Б—И—В–∞–±–∞–љ–∞—П –і–Є—Б—В–∞–љ—Ж–Є–Њ–љ–љ–∞—П –Њ–ї–Є–Љ–њ–Є–∞–і–∞ –Њ—В –Т–Є–і–µ–Њ—Г—А–Њ–Ї–Є –≤ –Ш–љ—В–µ—А–љ–µ—В



44 видеоурока, 44 презентации и 26 тестов по алгебре 7 класс - дл€ учителей математики

ƒобавить ваш комментарий


ƒл€ перехода на новую строку просто нажмите enter


* ¬аш комментарий по€витс€ выше всех остальных

ѕрочие материалы этого раздела:

«адачи на смеси и сплавы

¬ статье речь идет о задачах, св€занных с пон€ти€ми Ђконцентраци€ї и Ђпроцентное содержаниеї.  ратко излагаетс€ теоретический материал, привод€тс€ примеры с решени€ми. ѕри решении задач используетс€ схема.

ќбновление форм и методов обучени€

ћатериал расскажет о проблеме необходимости использовани€ таких систем и методов, форм обучени€, преподавани€ предмета, которые бы позволили выпускнику школы получить систему знаний соответствующую современным требовани€м.

»нтеллектуальна€ игра "—частливый случай" (математика)

ћатериал содержит сценарий интеллектуальной игры по математике.

ѕроектна€ технологи€ обучени€

¬ презентации рассказываетс€ о данной технологии с примерами и нагл€дностью.