^ Наверх ^
Готовые уроки для учителей

Сайт учителя для учителей

Математика архив

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Автор: Кот Вацлав Иванович,   Размер: 0.4 MB
Добавлен: 22.06.2013.

Если натуральное число А делится на натуральное число В с остатком r, то это значит, что А = Вn+r, где А – делимое, В – делитель, n-частное. Остаток r может равняться 0, 1, 2, …, В – 1.

Если  r= 0, то говорят, что А кратно В или что А делится нацело на В, а число В является делителем числа А или что В делит А.

Натуральные числа бывают трех видов: имеющие только один делитель (такое число только одно – 1), имеющие два делителя и имеющие более двух делителей. Если натуральное число m имеет только два делителя 1 и само число m, то оно называется простым. Например, 2, 3, 5, 7, 11 – простые числа. Если натуральное число m имеет более двух делителей, то оно называется составным. Например, 4, 6, 12 – составные числа. Число 1 не является ни простым, ни составным.  Чтобы распознать простое число, нужно проверить его делимость на все простые числа, квадрат которых не превосходит данное число. Делать это стоит, естественно, только в тех случаях, когда не видно сразу, что число составное. Алгоритм распознавания составного числа: чтобы показать, что данное число составное, достаточно представить его в виде произведения двух натуральных чисел, ни одно из которых не равно 1.

Итак, делителем данного  числа называется число, на которое данное число делится без остатка. 

Пример 1. Найти все делители числа 50.

Решение. Заметим, что число 1 – делитель любого числа, в том числе и 50. Раскладываем 50 на простые множители. Каждый из них (2 и 5) будет простым делителем 50. Перемножением же простых множителей по два и по три получаем остальные (составные) делители 50. Других делителей число 50 не имеет.

Ответ: 1, 2, 5, 10, 25, 50.

Алгоритм определения количества всех делителей числа:

1) Разложим данное число на простые множители;

2) Увеличим на единицу показатель степени каждого простого множителя;

3) Перемножим увеличенные показатели всех простых множителей;

4) В результате получим количество всех делителей данного числа.

Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка. Например, числа 25 и 35 имеют общие делители: 1 и 5. Среди всех общих делителей  всегда имеется наибольший.  Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).

Так, НОД(25; 35) = 5.

Для нахождения НОД нескольких чисел пользуются чаще всего следующими  двумя способами.

Первый способ – разложение на простые множители.

Пример 2. Найти НОД чисел 210, 1260 и 245.

Решение. Разложим каждое из данных чисел на простые множители и выпишем все их  общие множители, причем каждый из них берем с наименьшим показателем, встречающимся в этих разложениях. Имеем:

НОД (210, 1260, 245)=35

Ответ: НОД (210, 1260, 245)=35.

Второй способ – последовательное деление. Он называется еще алгоритмом Евклида. Чтобы найти НОД двух чисел, делят большее число на меньшее, и если получается остаток, то делят меньшее число на остаток; если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делать до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть НОД данных чисел.

Пример 3. Найти НОД(391; 299).

Решение. Разделив число 391 на 299, получим в остатке 92. Разделив 299 на 92, получим в остатке 23. Разделив 92 на 23, получим в остатке 0. Следовательно, НОД(391; 299) = 23.

Ответ: НОД(391; 299) = 23.

Чтобы найти таким способом НОД трех и более чисел, находят сначала наибольший общий делитель каких-нибудь двух из них, затем – НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего из данных чисел и т. д.

Два или несколько чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, называются взаимно простыми.

НОД (15; 22) =1, следовательно, 15 и 22 взаимно просты.

НОД (18; 15) = 3, следовательно, 18 и 15 не взаимно просты.

Если НОД (А; В) = 1, то дробь A/B - несократимая.

Общим кратным данных чисел называется натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка).

Например, числа 12, 24, 36, …  являются общими кратными чисел 3 и 4.

Из всех общих кратных можно найти наименьшее.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется самое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Например, НОК (6; 15; 20) = 60, так как никакое натуральное число, меньшее 60, не делится на 6, 15 и 20 одновременно, а 60 делится на эти числа.

Укажем два способа нахождения НОК.

Первый способ – разложение на простые множители. Чтобы найти НОК нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем, взяв разложение одного из них, умножить его на недостающие простые множители из разложений других чисел.

Пример 4. Найти НОК(72; 108).

Решение. Разложим числа 72 и 108 на множители:

Выпишем все множители числа 108 (это удобно, так 108 больше 72) и, добавив множитель 2, который еще дополнительно имеется в числе 72, получим НОК(72; 108) =216.

Ответ: НОК(72; 108) = 216.

Если большее из данных чисел делится на все остальные, то оно и будет наименьшим общим ратным этих чисел. Например, НОК(60; 120; 40) = 120.

Если никакая пара данных чисел не имеет общих множителей, то для нахождения НОК данных чисел их нужно перемножить. Например, НОК(7; 8; 11) =616.

Второй способ. Известно, что НОК двух чисел равно произведению этих чисел, деленному на их НОД.

Пример 5. Найти НОК(360; 70).

Решение. Так как НОД (360; 70) = 10, то  НОК(360; 70) = 2520 .

Ответ: НОК(360; 70) = 2520.

Чтобы найти этим способом НОК трех и более чисел, сначала находят НОК каких-нибудь двух из них, потом – НОК этого наименьшего кратного и какого-нибудь третьего данного числа и т. д.

Пример 6. Докажите, что два соседних натуральных числа n и n + 1 являются взаимно простыми.

Доказательство – смотри документ

Примеры 7-10 с решениями – смотри документ

Упражнения

1. Найти НОК (360; 396)  и  НОД (360; 396).

2. С помощью алгоритма Евклида найти НОД(13172; 261).

Остальные упражнения – смотри документ

Д.з.

1) Знать, как определять количество делителей у числа, и уметь находить НОД и НОК нескольких чисел.

2) Уметь выполнять упражнения 6, 7, 8, 11, 12, 13, остальные –  по желанию.

Скачан: 102



Поделиться ВКонтакте   Поделиться в Одноклассниках   Поделиться в Facebook   Поделиться в Twitter   Поделиться в Mail.ru  

Супер-подборка видеоуроков по математике [скачать]

Добавить ваш комментарий


Для перехода на новую строку просто нажмите enter


* Ваш комментарий появится выше всех остальных

Прочие материалы этого раздела:

Математические чудеса и тайны

В презентации представлены задачи, примеры и их решения, которые могут понадобиться начинающему учителю как во внеклассной работе так и на уроках для развития мышления учащихся и для проявления интереса к предмету.

Алгоритмы быстрого счета

Материал раскроет историю возникновения алгоритмов быстрого счета, опишет старинные способы умножения, поможет рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Використання комп`ютера при вивченні теми "Перетворення графіків функцій"

Материал на украинском языке. В роботі розглянуто практичні елементи методики викладання математики, зокрема методика навчання учнів побудови графіків функцій за допомогою комп’ютерних технологій.

Внеклассное мероприятие «Интеллектуальная математическая разминка»

Интересные математические задания позволят повысить интерес учащихся к предмету, помогут в развитии логического мышления.

Рекомендую
Разное