Системы линейных неравенств с одной переменной

Вопросы занятия:

·  вспомнить, что такое числовое неравенство, неравенство с переменными, линейное неравенство с одной и двумя переменными;

·  повторить способы решения линейных неравенств.

Материал урока

Определение.

Говорят, что задана система двух неравенств с одной переменной, если требуется найти все значения переменной, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Определение.

Если каждое из этих неравенств является линейным неравенством, то говорят, что задана система линейных неравенств с одной переменной.

Определение.

Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором неравенства системы преобразуются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решить систему неравенств – найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем линейных неравенств довольно прост.

Но прежде чем мы приступим к решению систем, давайте вспомним, что такое пересечение и объединение числовых промежутков.

Как связаны числовые неравенства с промежутками числовой прямой, мы знаем.

Рассмотрим множество, которое состоит из нескольких интервалов на числовой оси.

Говорят, что это множество состоит из объединения числовых промежутков.

Записывают это так

Теперь давайте найдём пересечение и объединение двух числовых множеств.

Изобразим эти множества на одной числовой прямой. Для удобства, первое множество мы изобразим сверху, а второе множество изобразим снизу.

В объединение промежутков входят все промежутки, на которых штриховка есть или снизу или сверху или и там и там.

В пересечение множеств войдут те промежутки, на которых есть штриховка снизу и сверху одновременно.

Пересечение множеств может быть пустым множеством. Например, если мы попробуем найти пересечение этих множеств, то увидим, что нет таких значений, которые входят в каждое из этих множеств. Тогда говорят, что пересечением этих множеств является пустое множество.

Решениями систем неравенств будет пересечение множеств, которые будут решениями каждого из неравенств системы.

Пример.

Пример.

Пример.

Наравне с системами неравенств рассматривают совокупности неравенств.

Определение.

Говорят, что задана совокупность двух неравенств с одной переменной, если требуется найти все такие значения переменной, при каждом из которых хотя бы одно из неравенств совокупности, обращается в верное числовое неравенство.

Определение.

Решением совокупности неравенств называют значение переменной, при котором хотя бы одно неравенство совокупности обращается в верное числовое неравенство.

Теперь давайте попробуем решить рассмотренные нами примеры, но знак системы заменим на знак совокупности.

Вернёмся к первому примеру.

Перейдём ко второму примеру.

Перейдём к последнему примеру.

К решению систем неравенств прибегают и тогда, когда надо решить двойное неравенство.

Пример.

Итоги урока

Сегодня мы вспомнили, что такое системы линейных неравенств с одной переменной, совокупности линейных неравенств с одной переменной.