Решение задач с помощью рациональных уравнений

Мы с вами уже научились решать рациональные уравнения.

Напомним, что рациональные уравнения – это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

Очень часто решение задач сводится к решению дробных рациональных уравнений. Решим несколько задач, которые сводятся к решению таких уравнений.

Задача 1. Числитель дроби на  меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в  раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.

Решение:

Обозначим за  – знаменатель дроби. Тогда  – числитель этой дроби. Значит, исходная дробь имеет вид . Так как по условию задачи сумма дроби  и обратной ей дроби  в  раза больше исходной дроби, то можем составить уравнение:

Задача 2. Велосипедисту надо проехать 15 км. Он выехал на 15 минут позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

Решение:

Пусть  (км/ч) – скорость велосипедиста. Тогда расстояние в  км велосипедист проедет за  часов. Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равна  км/ч. И тогда расстояние в  км он проехал бы за  часов. По условию задачи, велосипедист выехал на  минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на   часа позже. Составим уравнение:

Задача 3. Моторная лодка прошла вниз по реке 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть  (км/ч) – скорость течения реки. Тогда расстояние в  км/ч скорость моторной лодки по течению реки и  км/ч скорость моторной лодки против течения. Известно, что моторная лодка прошла по течению реки  км, а значит, затратила на это расстояние  часов. Затем против течения лодка прошла  км, затратив на это расстояние  часов. По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила  часов. Составим уравнение:

Задача 4. Вело эквилибрист, проектируя своё оборудование для выступления в цирке, рассчитал, что если длину окружности колеса его одноколёсного велосипеда увеличить на один метр, то на расстоянии 990 м оно сделает на 40 оборотов меньше. Найти длину окружности велосипедного колеса эквилибриста.

Решение:

Пусть  метров – длина окружности колеса. Тогда на расстоянии в  метров это колесо делает  оборотов.                                                                                                                                               И тогда на расстоянии  метров такое колесо сделает  оборотов. По условию задачи известно, что после увеличения длины окружности колеса, оно делает на расстоянии  метров на   оборотов меньше. Составим уравнение:

Итоги:

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами, решение которых предполагает составление и решение дробных рациональных уравнений, и научились решать такие задачи.